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三角方程是具有可变三角曲线x的一个或多个三角函数的方程。求解x意味着找到其三角函数导致三角方程为真的三角曲线的值。

• 解曲线的答案或值以度或弧度表示。例子：

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45度； x = 37.12度； x = 178.37度

• 注意：在单位圆上，任何曲线的三角函数等于相应角度的三角函数。单位圆定义了变量曲线x的所有三角函数。它也可以用作求解基本三角方程和不等式的证明。
• 三角方程的示例：
  • sin x + sin 2x = 1/2;棕褐色x +轻便床x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1。

1. 单位圆。
   • 这是半径= 1的圆，其中O是原点。单位圆定义了变量曲线x的4个主要三角函数，将其逆时针旋转。
   • 当值x的曲线在单位圆上变化时，则保持：
   • 水平轴OAx定义了三角函数f（x）= cos x。
   • 垂直轴OBy定义了三角函数f（x）= sin x。
   • 垂直轴AT定义了三角函数f（x）= tan x。
   • 水平轴BU定义了三角函数f（x）= cot x。

• 通过考虑圆上曲线x的不同位置，单位圆还用于求解基本三角方程和标准三角不等式。

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1. 了解解决方法。
   • 要求解三角方程，可以将其转换为一个或多个基本三角方程。求解三角方程最终导致求解4个基本三角方程。
2. 知道如何求解基本三角方程。
   • 有四个基本的三角方程：
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a;婴儿床x = a
   • 您可以通过研究曲线x在三角圆上的各个位置并使用三角转换表（或计算器）来求解基本三角方程。要完全理解如何求解这些和类似的基本三角方程，请阅读以下书籍：“三角：求解三角方程和不等式”（Amazon电子书2010）。
   • 例子1.求解sin x = 0.866。转换表（或计算器）给出答案：x = Pi / 3。三角圆给出了另一条曲线（2Pi / 3），其正弦值（0.866）相同。三角圆还提供了无限的答案，称为扩展答案。
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi，x2 = 2Pi / 3。 （在时间段内回复（0，2Pi））
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi，x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi。 （详细答案）。
   • 示例2.解：cos x = -1/2。计算器给出x = 2 Pi / 3。三角圆还给出x = -2Pi / 3。
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi，x2 =-2Pi / 3。 （期间（0，2Pi）的答案）
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi，x2 = -2Pi / 3 +2k.Pi。 （扩展答案）
   • 示例3.求解：tan（x-Pi / 4）= 0。
   • x = Pi / 4; （回答）
   • x = Pi / 4 + k Pi; （扩展答案）
   • 示例4.求解：cot 2x = 1.732。计算器和三角圆给出：
   • x = Pi / 12; （回答）
   • x = Pi / 12 + k Pi； （扩展答案）
3. 了解用于求解三角方程的变换。
   • 要将给定的三角方程转换为标准三角方程，请使用标准代数转换（因式分解，公因子，多项式...），三角函数的定义和性质以及三角恒等式。大约有31个，其中14个是从19到31的三角恒等式，也称为变换恒等式，因为它们用于三角方程的转换。见上本书。
   • 示例5：三角方程：sin x + sin 2x + sin 3x = 0可以使用三角恒等式转换为基本三角方程的乘积：4cos x * sin（3x / 2） * cos（x / 2）=要解决的基本三角方程为：cos x = 0; 0。 sin（3x / 2）= 0;和cos（x / 2）= 0。
4. 查找已知三角函数的曲线。
   • 在学习如何求解三角方程之前，您需要知道如何快速找到已知三角函数的曲线。曲线（或角度）的转换值可以使用三角表或计算器确定。
   • 示例：求解cos x = 0.732。计算器给出解x = 42.95度。单位圆给出了余弦值相同的其他曲线。
5. 在单位圆上画出答案的弧线。
   • 您可以创建一个图形来说明单位圆上的解决方案。这些曲线的端点是三角圆上的规则多边形。一些例子：
   • 曲线的端点x = Pi / 3 + k。Pi / 2是单位圆上的正方形。
   • x = Pi / 4 + k.Pi / 3的曲线由单位圆上六边形的坐标表示。
6. 了解如何求解三角方程。
   • 如果给定的三角方程只包含一个三角函数，则将其求解为标准三角方程。如果给定方程包含两个或多个三角函数，则有2种求解方法，具体取决于转换方程的选项。
     • A.方法1。
   • 将三角方程转换为以下形式的乘积：f（x）.g（x）= 0或f（x）.g（x）.h（x）= 0，其中f（x），g（x）和h（x）是基本的三角方程。
   • 例子6.解决：2cos x + sin 2x =0。（0 x 2Pi）
   • 解决方案。使用以下标识替换等式中的sin 2x：sin 2x = 2 * sin x * cos x。
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x *（sin x + 1）=0。然后求解2个标准三角函数：cos x = 0，（sin x + 1）= 0。
   • 例子7.解决：cos x + cos 2x + cos 3x =0。（0 x 2Pi）
   • 解决方案：使用三角恒等式将其转换为乘积：cos 2x（2cos x + 1）=0。现在求解2个基本三角方程：cos 2x = 0和（2cos x + 1）= 0。
   • 例子8.解：sin x-sin 3x = cos 2x。 （0 x 2Pi）
   • 解决方案：使用三角恒等式将其转换为乘积：-cos 2x *（2sin x + 1）=0。现在求解2个基本三角方程：cos 2x = 0和（2sin x + 1）= 0。
     • B.方法2。
   • 仅将一个唯一的trig函数作为变量，将trig方程转换为trig方程。关于如何选择合适的变量，有一些技巧。常见变量为：sin x = t; cos x = t; cos 2x = t，tan x = t，tan（x / 2）= t。
   • 例子9.解：3sin ^ 2 x-2cos ^ 2 x = 4sin x + 7（0 x 2Pi）。
   • 解决方案。在公式中，将（cos ^ 2x）替换为（1-sin ^ 2x），并简化公式：
   • 3sin ^ 2 x-2 + 2sin ^ 2 x-4sin x-7 =0。现在使用sin x = t。该方程变为：5t ^ 2-4t-9 =0。这是一个有2个根的二次方程：t1 = -1和t2 = 9/5。我们可以拒绝第二个t2，因为> 1。现在求解：t = sin = -1-> x = 3Pi / 2。
   • 例子10.解：tan x + 2 tan ^ 2 x =轻便床x + 2。
   • 解决方案。使用tan x = t。将给定的方程转换为以t为变量的方程：（2t +1）（t ^ 2-1）=0。从该乘积中求解t，然后求解x的标准三角方程tan x = t。
7. 解决特殊的三角方程。
   • 有一些特殊的三角方程需要一些特定的转换。例子：
   • a * sin x + b * cos x = c; a（sin x + cos x）+ b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 了解三角函数的周期性。
   • 所有三角函数都是周期性的，这意味着它们在旋转一段时间后会返回相同的值。例子：
     • 函数f（x）= sin x具有2Pi作为周期。
     • 函数f（x）= tan x以Pi为周期。
     • 函数f（x）= sin 2x具有Pi作为周期。
     • 函数f（x）= cos（x / 2）具有4Pi作为周期。
   • 如果在练习/测试中指定了时间段，那么您只需要找到该时间段内的曲线x。
   • 注意：求解三角方程是棘手的，通常会导致错误和错误。因此，应仔细检查答案。解决后，您可以使用图形计算器检查答案，以直接表示给定的三角方程R（x）=0。答案（作为平方根）以小数位给出。例如，Pi的值为3.14