内容

• 脚步
• 方法 1 of 2：代数方法
• 方法 2 of 2：图形方法
• 提示
• 一个警告

函数可以是偶数、奇数或一般函数（即既不是偶数也不是奇数）。函数的类型取决于对称性的存在与否。确定函数类型的最佳方法是执行一系列代数计算。但是函数的类型也可以通过它的日程表来找到。通过学习如何定义函数的种类，您可以预测某些函数组合的行为。

脚步

方法 1 of 2：代数方法

1. 1 记住变量的相反值是什么。 在代数中，变量的相反值用“-”（减号）表示。此外，对于自变量的任何指定（通过字母 ${ 显示样式 x}$ 或任何其他字母）。如果原函数中的变量前面已经有一个负号，那么它的对立值就是一个正变量。以下是一些变量及其相反含义的示例：
   • 相反的意思是 ${ 显示样式 x}$ 是一个 ${ displaystyle -x}$.
   • 相反的意思是 ${ 显示样式 q}$ 是一个 ${ displaystyle -q}$.
   • 相反的意思是 ${ displaystyle -w}$ 是一个 ${ displaystyle w}$.
2. 2 用相反的值替换解释变量。 即，反转自变量的符号。例如：
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ 变成 ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ 变成 ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ 变成 ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 简化新功能。 此时，您不需要为自变量替换特定的数值。您只需要简化新函数 f (-x) 以将其与原始函数 f (x) 进行比较。记住取幂的基本规则：将负变量提高到偶数幂将导致正变量，将负变量提高到奇数幂将导致负变量。
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 比较这两个函数。 将简化后的新函数 f (-x) 与原始函数 f (x) 进行比较。写出两个函数的对应项并比较它们的符号。
   • 如果两个函数对应项的符号重合，即f(x)=f(-x)，则原函数为偶数。例子：
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ 和 ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • 这里项的符号重合，所以原函数是偶数。
   • 如果两个函数对应项的符号相反，即f(x)=-f(-x)，则原函数为偶数。例子：
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$， 但 ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • 请注意，如果将第一个函数中的每一项乘以 -1，就会得到第二个函数。因此，原始函数 g (x) 是奇数。
   • 如果新函数与以上示例中的任何一个都不匹配，则它是一个通用函数（即，既不是偶数也不是奇数）。例如：
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$， 但 ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$...两个函数的第一项符号相同，第二项符号相反。因此，这个函数既不是偶数也不是奇数。

方法 2 of 2：图形方法

1. 1 绘制函数图. 为此，请使用方格纸或图形计算器。选择任意倍数的数值解释变量值 ${ 显示样式 x}$ 并将它们插入函数中以计算因变量的值 ${ 显示样式 y}$...在坐标平面上绘制找到的点的坐标，然后将这些点连接起来构建函数的图形。
   • 将正数值代入函数 ${ 显示样式 x}$ 和相应的负数值。例如，给定函数 ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$...插入以下值 ${ 显示样式 x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$...得到一个坐标点 ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$...得到一个坐标点 ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$...得到一个坐标点 ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$...得到一个坐标点 ${ displaystyle (-2.9)}$.
2. 2 检查函数的图形是否关于 y 轴对称。 对称性是指图表关于纵坐标轴的镜像。如果图形在 y 轴右侧的部分（正解释变量）与图形在 y 轴左侧的部分（解释变量的负值）重合，则图形关于y 轴。如果函数关于纵坐标对称，则函数是偶数。
   • 您可以通过单个点检查图形的对称性。如果值 ${ 显示样式 y}$对应于值 ${ 显示样式 x}$, 匹配值 ${ 显示样式 y}$对应于值 ${ displaystyle -x}$，函数是偶数。在我们的函数示例中 ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ 我们得到以下点坐标：
     • (1.3) 和 (-1.3)
     • (2.9) 和 (-2.9)
   • 请注意，当 x = 1 且 x = -1 时，因变量为 y = 3，而当 x = 2 且 x = -2 时，因变量为 y = 9。所以函数是偶数。事实上，为了找出函数的确切形式，需要考虑的点不止两点，但所描述的方法是一个很好的近似。
3. 3 检查函数的图形是否关于原点对称。 原点是坐标为 (0,0) 的点。关于原点的对称性意味着正值 ${ 显示样式 y}$ （具有正值 ${ 显示样式 x}$) 对应于负值 ${ 显示样式 y}$ （负值 ${ 显示样式 x}$)，反之亦然。奇函数关于原点对称。
   • 如果我们在函数中代入几个正值和对应的负值 ${ 显示样式 x}$, 值 ${ 显示样式 y}$ 符号会有所不同。例如，给定函数 ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$...将多个值代入其中 ${ 显示样式 x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$...得到坐标 (1,2) 的点。
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2}$...我们得到了一个坐标 (-1, -2) 的点。
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$...得到一个坐标点 (2,10)。
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10}$...我们得到了一个坐标 (-2, -10) 的点。
   • 因此，f (x) = -f (-x)，即函数为奇数。
4. 4 检查函数的图形是否具有任何对称性。 最后一类函数是图形不对称的函数，即关于纵坐标轴和关于原点都没有镜像。例如，给定函数 ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • 将几个正值和对应的负值代入函数中 ${ 显示样式 x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$...得到一个坐标点 (1,4)。
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2}$...我们得到了一个坐标 (-1, -2) 的点。
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$...得到一个坐标点 (2,10)。
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2}$...我们得到了一个坐标为 (2, -2) 的点。
   • 根据得到的结果，不存在对称性。价值 ${ 显示样式 y}$ 对于相反的值 ${ 显示样式 x}$ 不重合也不对立。因此，该函数既不是偶数也不是奇数。
   • 注意函数 ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ 可以这样写： ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$...以这种形式编写时，函数看起来是偶数，因为存在偶数指数。但是这个例子证明，如果自变量被括号括起来，就不能很快确定函数的种类。在这种情况下，您需要打开括号并分析接收到的指数。

提示

• 若自变量的指数为偶数，则函数为偶数；如果指数为奇数，则函数为奇数。

一个警告

• 本文仅适用于具有两个变量的函数，其值可以绘制在坐标平面上。