内容

• 初步信息
• 脚步
• 第 1 部分（共 3 部分）：基础知识
• 第 2 部分（共 3 部分）：拉普拉斯变换的性质
• 第 3 部分（共 3 部分）：通过级数展开求拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种积分变换，用于求解常系数微分方程。这种变换广泛应用于物理学和工程学。

虽然您可以使用适当的表格，但了解拉普拉斯变换很有帮助，这样您就可以在必要时自己进行操作。

初步信息

• 给定一个函数 ${ displaystyle f (t)}$定义为 ${ displaystyle t geq 0.}$ 然后 拉普拉斯变换 功能 ${ displaystyle f (t)}$ 是每个值的下一个函数 ${ 显示样式 s}$，积分收敛于：
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• 拉普拉斯变换采用从 t 区域（时间尺度）到 s 区域（变换区域）的函数，其中 ${ displaystyle F(s)}$ 是复变量的复函数。它允许您将函数移动到更容易找到解决方案的区域。
• 显然，拉普拉斯变换是一个线性算子，所以如果我们处理的是项的和，每个积分都可以单独计算。
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• 请记住，拉普拉斯变换仅在积分收敛时才有效。如果函数 ${ displaystyle f (t)}$ 有不连续性，则必须小心并正确设置积分限制以避免不确定性。

脚步

第 1 部分（共 3 部分）：基础知识

1. 1 将该函数代入拉普拉斯变换公式。 理论上，函数的拉普拉斯变换非常容易计算。例如，考虑函数 ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$， 在哪里 ${ displaystyle a}$ 是一个复常数 ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 使用可用的方法估计积分。 在我们的示例中，估算非常简单，您可以通过简单的计算来完成。在更复杂的情况下，可能需要更复杂的方法，例如分部积分或积分符号下的微分。约束条件 ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ 表示积分收敛，即其值趋于0为 ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {对齐}}}$
   • 请注意，这为我们提供了两种类型的拉普拉斯变换，正弦和余弦，因为根据欧拉公式 ${ displaystyle e ^ {iat}}$...在这种情况下，在分母中我们得到 ${ displaystyle s-ia,}$ 剩下的就是确定实部和虚部。您也可以直接评估结果，但这需要更长的时间。
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + ^ {2}}}}$
3. 3 考虑幂函数的拉普拉斯变换。 首先，您需要定义幂函数的变换，因为线性属性允许您找到以下变换 所有的 多项式。形式的函数 ${ displaystyle t ^ {n},}$ 在哪里 ${ 显示样式 n}$ - 任何正整数。可以逐个集成来定义递归规则。
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • 这个结果是隐式表达的，但如果你替换几个值 ${ displaystyle n,}$ 你可以建立某种模式（尝试自己做），它可以让你得到以下结果：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • 您还可以使用伽马函数定义分数幂的拉普拉斯变换。例如，通过这种方式，您可以找到函数的转换，例如 ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • 尽管具有分数幂的函数必须有割（记住，任何复数 ${ displaystyle z}$ 和 ${ displaystyle alpha}$ 可以写成 ${ displaystyle z ^ { alpha}}$，因为 ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$)，它们总是可以用这样的方式定义，即切割位于左半平面，从而避免解析性问题。

第 2 部分（共 3 部分）：拉普拉斯变换的性质

1. 1 让我们找到函数的拉普拉斯变换乘以 电子一种吨{ displaystyle e ^ {at}}. 上一节中获得的结果使我们能够找出拉普拉斯变换的一些有趣的性质。余弦、正弦和指数函数等函数的拉普拉斯变换似乎比幂函数变换更简单。乘以 ${ displaystyle e ^ {at}}$ 在t区对应于 转移 在s区：
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • 此属性立即允许您找到函数的转换，例如 ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$，无需计算积分：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 让我们找到函数的拉普拉斯变换乘以 吨n{ displaystyle t ^ {n}}. 首先，考虑乘以 ${ 显示样式 t}$...根据定义，可以在积分下对函数进行微分，并得到一个非常简单的结果：
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • 重复这个操作，我们得到最终结果：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • 虽然积分和微分算子的重新排列需要一些额外的证明，我们不会在这里展示它，但只注意如果最终结果有意义，这个操作是正确的。您还可以考虑到变量 ${ 显示样式 s}$ 和 ${ 显示样式 t}$ 不要互相依赖。
   • 使用这个规则，很容易找到函数的变换，如 ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, 无需按部分重新积分：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 求函数的拉普拉斯变换 F(一种吨){ displaystyle f (at)}. 这可以通过使用变换的定义用 u 替换变量来轻松完成：
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • 上面，我们找到了函数的拉普拉斯变换 ${ displaystyle sin at}$ 和 ${ displaystyle cos at}$ 直接从指数函数。使用此属性，如果您找到实部和虚部，您可以获得相同的结果 ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 求导数的拉普拉斯变换 F′(吨){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. 与前面的示例不同，在这种情况下 必须 一点一点地整合：
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • 由于二阶导数出现在许多物理问题中，我们也找到了它的拉普拉斯变换：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • 在一般情况下，n 阶导数的拉普拉斯变换定义如下（这允许使用拉普拉斯变换求解微分方程）：
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

第 3 部分（共 3 部分）：通过级数展开求拉普拉斯变换

1. 1 让我们找到周期函数的拉普拉斯变换。 周期函数满足条件 ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ 在哪里 ${ displaystyle T}$ 是函数的周期，并且 ${ 显示样式 n}$ 是一个正整数。周期函数广泛用于许多应用，包括信号处理和电气工程。使用简单的转换，我们得到以下结果：
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end {对齐}}}$
   • 如您所见，在周期函数的情况下，执行一个周期的拉普拉斯变换就足够了。
2. 2 对自然对数执行拉普拉斯变换。 在这种情况下，积分不能用初等函数的形式表示。使用 gamma 函数及其级数展开式可让您估计自然对数及其度数。 Euler-Mascheroni 常数的存在 ${ displaystyle 伽玛}$ 表明为了估计这个积分，有必要使用级数展开。
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 考虑未归一化 sinc 函数的拉普拉斯变换。 功能 ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ 广泛用于信号处理，在微分方程中等价于第一类零阶球面贝塞尔函数 ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ 该函数的拉普拉斯变换也无法通过标准方法计算。在这种情况下，执行作为幂函数的级数的各个成员的变换，因此它们的变换必然会在给定的区间上收敛。
   • 首先，我们将函数的展开写成泰勒级数：
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)！}}}$
   • 现在我们使用已知的幂函数的拉普拉斯变换。阶乘被取消，因此我们得到反正切的泰勒展开式，即一个类似于正弦泰勒级数的交替级数，但没有阶乘：
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$