内容

• 脚步
• 第 1 部分（共 3 部分）：分解二项式
• 第 2 部分（共 3 部分）：分解二项式以求解方程
• 第 3 部分（共 3 部分）：解决复杂问题
• 提示
• 警告

二项式（binomial）是一种数学表达式，其中两个项之间有一个加号或减号，例如， ${ displaystyle ax + b}$...第一个成员包含变量，第二个成员包含或不包含它。对二项式进行因式分解涉及找到相乘时产生原始二项式的项，以便对其进行求解或简化。

脚步

第 1 部分（共 3 部分）：分解二项式

1. 1 了解保理过程的基础知识。 在对二项式进行因式分解时，从括号中取出作为原始二项式每一项的除数的因子。例如，数字 6 完全可以被 1、2、3、6 整除。因此，数字 6 的约数是数字 1、2、3、6。
   • 除数 32：1、2、4、8、16、32。
   • 任何数的除数都是 1 和数本身。例如，3 的除数是 1 和 3。
   • 整数除数只能是整数。数字 32 可以除以 3.564 或 21.4952，但得到的不是整数，而是小数。
2. 2 对二项式的项进行排序以促进因式分解过程。 二项式是两项的和或差，其中至少一项包含变量。有时变量被提升为幂，例如， ${ displaystyle x ^ {2}}$ 要么 ${ displaystyle 5y ^ {4}}$...二项式的各项最好按指数升序排列，即指数最小的项先写，最大的项写在最后。例如：
   • ${ 显示样式 3t + 6}$ → ${ 显示样式 6 + 3t}$
   • ${ 显示样式 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ 显示样式 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • 注意 2 前面的减号。如果减去一个项，在它前面写一个减号。
3. 3 找出两个项的最大公约数 (GCD)。 GCD 是二项式的两个成员都可以被整除的最大数。为此，请找到二项式中每个项的因数，然后选择最大公约数。例如：
   • 一个任务：${ 显示样式 3t + 6}$.
     • 除数 3：1、3
     • 除数 6：1、2、3、6。
     • GCD = 3。
4. 4 将二项式中的每一项除以最大公约数 (GCD)。 这样做可以分解 GCD。请注意，二项式的每个成员都减少（因为它是可整除的），但是如果括号中排除了 GCD，则最终表达式将等于原始表达式。
   • 一个任务：${ 显示样式 3t + 6}$.
   • 找到 GCD： 3
   • 将每个二项式项除以 gcd：${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 将除数移出括号。 早些时候，您将二项式的两个项除以除数 3 并得到 ${ 显示样式 t + 2}$...但是不能去掉3——为了使初始表达式和最终表达式的值相等，需要将3放在括号外，并将除法得到的表达式写在括号中。例如：
   • 一个任务：${ 显示样式 3t + 6}$.
   • 找到 GCD： 3
   • 将每个二项式项除以 gcd：${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • 将除数乘以结果表达式：${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • 回答： ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 检查你的答案。 为此，将括号前的项乘以括号内的每个项。如果得到原始二项式，则解是正确的。现在解决问题 ${ 显示样式 12t + 18}$:
   • 订购会员：${ 显示样式 18 + 12t}$
   • 找到 GCD：${ 显示样式 6}$
   • 将每个二项式项除以 gcd：${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • 将除数乘以结果表达式：${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • 检查答案：${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

第 2 部分（共 3 部分）：分解二项式以求解方程

1. 1 分解二项式以简化它并求解方程。 乍一看，似乎无法求解某些方程（尤其是复杂的二项式）。例如，求解方程 ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$...这个方程有幂，所以先分解表达式。
   • 一个任务：${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • 请记住，二项式有两个成员。如果表达式包含更多项，请了解如何求解多项式。
2. 2 在等式的两侧添加或减去一些单项式，以便在等式的一侧保留零。 在分解的情况下，方程的解基于不变的事实，即任何乘以零的表达式都等于零。因此，如果我们将方程归零，那么它的任何因子都必须为零。将等式的一侧设置为 0。
   • 一个任务：${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • 设置为零：${ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 对生成的 bin 进行因子分解。 按照上一节中的说明执行此操作。找到最大公因数 (GCD)，将二项式的两项除以它，然后将因数移出括号。
   • 一个任务：${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • 设置为零：${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • 因素：${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 将每个因子设置为零。 在结果表达式中，2y 乘以 4 - y，该乘积等于 0。由于任何乘以零的表达式（或项）为零，因此 2y 或 4 - y 为 0。将结果单项式和二项式设置为零以找到“y”。
   • 一个任务：${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • 设置为零：${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • 因素：${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • 将两个因子都设置为 0：
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 求解得到的方程以找到最终答案（或答案）。 由于每个因子都等于 0，所以方程可以有多个解。在我们的例子中：
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 检查你的答案。 为此，将找到的值代入原始方程。如果等式成立，那么这个决定是正确的。替换找到的值而不是“y”。在我们的示例中，y = 0 和 y = 4：
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ 显示样式 0 + 0 = 0}$
     • ${ 显示样式 0 = 0}$这是正确的决定
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ 显示样式 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$这是正确的决定

第 3 部分（共 3 部分）：解决复杂问题

1. 1 请记住，带有变量的项也可以进行因式分解，即使变量被提升到幂。 因式分解时，您需要找到一个将二项式的每个成员整除的单项式。例如，单项式 ${ displaystyle x ^ {4}}$ 可以分解 ${ displaystyle x * x * x * x}$...也就是说，如果二项式的第二项也包含变量“x”，则可以将“x”从括号中取出。因此，将变量视为整数。例如：
   • 二项式的两个成员 ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ 包含“t”，因此可以从括号中取出“t”： ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • 此外，可以从括号中取出提升到幂的变量。例如，二项式的两个成员 ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ 包含 ${ displaystyle x ^ {2}}$， 所以 ${ displaystyle x ^ {2}}$ 可以从支架中取出： ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 添加或减去相似项以获得二项式。 例如，给定表达式 ${ 显示样式 6 + 2x + 14 + 3x}$...乍一看，这是一个多项式，但实际上，这个表达式可以转换为二项式。添加相似项：6 和 14（不包含变量），以及 2x 和 3x（包含相同的变量“x”）。在这种情况下，将简化因式分解的过程：
   • 原文表达：${ 显示样式 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • 订购会员：${ 显示样式 2x + 3x + 14 + 6}$
   • 添加类似的术语：${ 显示样式 5x + 20}$
   • 找到 GCD：${ 显示样式 5 (x) +5 (4)}$
   • 因素：${ 显示样式 5 (x + 4)}$
3. 3 因子完全平方的差异。 完美平方是平方根为整数的数字，例如 ${ 显示样式 9}$${ 显示样式 (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ 乃至 ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$...如果二项式是完全平方差，例如， ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$，然后由公式分解：
   • 平方差公式：${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • 一个任务：${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • 提取平方根：
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • 将找到的值代入公式： ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 计算完整立方体之间的差异。 如果二项式是完整立方体的差，例如， ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$，然后使用特殊公式将其分解。在这种情况下，需要从二项式的每个成员中提取立方根，并将找到的值代入公式中。
   • 立方体之间的差值公式：${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • 一个任务：${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • 提取立方根：
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • 将找到的值代入公式： ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 计算完整立方体的总和。 与完美平方和不同，完整立方体之和，例如， ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, 可以使用特殊公式分解。它类似于立方体之间的差异公式，但符号相反。公式很简单 - 要使用它，找到问题中完整立方体的总和。
   • 立方体和的公式：${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • 一个任务：${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • 提取立方根：
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • 将找到的值代入公式： ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

提示

• 有时二项式成员没有公约数。在某些任务中，成员以简化形式呈现。
• 如果您不能立即找到 GCD，请从除以小数开始。例如，如果您没有看到数字 32 和 16 的 GCD 是 16，则将这两个数字除以 2。您会得到 16 和 8；这些数字可以被 8 整除。现在你得到 2 和 1；这些数字不能减少。因此，很明显有一个更大的数（与 8 和 2 相比），它是两个给定数的公约数。
• 请注意，六阶项（指数为 6，例如 x）既是完美的平方又是完美的立方。因此，对于具有六阶项的二项式，例如 x - 64，可以应用（以任何顺序）平方差和立方差的公式。但最好先应用平方差的公式，以便更正确地用二项式分解。

警告

• 二项式是完全平方和，不能被分解。