将1到N的数字相加

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1的方法1，第二部分：使用1到N的和求两个整数的和
尖端
警示语

整数是不带分数或小数的整数。如果数学问题要求您计算从1到给定值N的整数个数的总和，则不必手动将每个值相加。相反，为了节省时间和精力，请使用以下等式 （N（N + 1））/ 2，其中N是序列中的最高数字。

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将最大整数定义为N。 当将1到给定数字的整数相加时 N.，您必须将N本身定义为正整数。 N是整数，因此它不能是十进制数或小数。 N也不能为负。
- 例如，假设我们要将1到100之间的所有整数相加。在这种情况下，N的值是100，因为这是我们系列中的最后一个数字，换句话说，这是加法运算中的最大数字。
将N（N + 1）乘以2。 定义N的值后，将此值应用于方程式（N（N + 1））/ 2。该方程可找到1到N之间所有整数的总和。
- 在我们的示例中，我们在方程式中输入100（N的值）。（N（N +1））/ 2然后变成（100（100 +1））/ 2。
计算答案。 该方程式的最终值是1到N之间所有数字的总和。
- 让我们解决这个例子。
  - (100(100 + 1))/2 =
  - (100(101))/2 =
  - (10100)/2 =
  - 5050.是从1到100的所有整数的总和 5050.
了解如何导出方程式（N（N + 1））/ 2。 再看一下样本问题。将此序列1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100分为两组-从1到50，从51到100。一组如果将第一个组（1）中的第一个数字加到的最后一个数字中第二组（100），您得到101。您得到的答案（101）分别为2 + 99、3 + 98、4 + 97，依此类推。如果将第一组中的每个数字加到第二组中的相应数字，我们将得到50对数字，它们的总和为101：所以50 x 101 = 5050，即1到100的整数之和请注意，50是100的一半，而101是100 +1。实际上，该观察结果适用于任何正整数的和-分量的加法可以分为两组，而这些组中的数字可以是彼此分配，使得每对具有相同的总和。请注意，对于整数的奇数序列，将保留一个数字-这不会影响最终答案。
- 通常，我们可以说，对于任何数字N，从1到N的数字之和等于（N / 2）（N +1）。该方程的简化形式为（N（N + 1））/ 2，它是整数方程的总和。

1的方法1，第二部分：使用1到N的和求两个整数的和

确定是添加包含式还是排除式。 通常，目标不是将1到给定数的整数范围求和，但是会要求您找到整数范围的和。之间两个整数N。₁ 和N₂，其中N₁ > N₂ 并且都> 1。查找此总和的过程相对简单，但是在开始之前，我们需要确定总和是包含式还是排除式，换句话说，N是₁ 和N₂ 包括或只要两者之间的整数，因为在这些情况下，过程彼此略有不同。
用于确定两个数字N之间的整数之和。₁ 和N₂ 我们首先分别确定N的每个值的总和，然后将其减去。 通常，您只需要从较大的N值的总和中减去较小的N值的总和即可找到答案。然而，如上所示，重要的是要知道此添加是包含式还是排他性的。包含加法要求您从N的值中减去1。₂ 在将其输入方程式之前，排他枚举要求您从N的值中减去1。₁.
- 假设 包括的 N之间的整数之和。₁ = 100和N₂ =75。换句话说，我们必须找到75 + 76 + 77 ... + 99 + 100的和。为此，我们取从1到N的整数之和。₁，然后从1到N的整数中减去该总和。₂ -1（请记住，我们添加了包含项，因此请从N中减去1。₂），并按以下方式解决：
  - （N₁（N₁ +1））/ 2-（（N₂-1）（（N₂-1) + 1))/2 =
  - (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
  - 5050 - (74(75))/2 =
  - 5050 - 5550/2 =
  - 5050-2775 =2275。75和100之间的整数的和（包含）是 2275.
- 现在让我们 独家的 开始计数。方程保持不变，只是在这种情况下我们从N减去1₁ 而不是N。₂:
  - （（N₁-1）（（N₁-1）+1））/ 2-（N₂（N₂ + 1))/2 =
  - (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
  - (99(100))/2 - (75(76))/2 =
  - 9900/2 – 5700/2 =
  - 4950-2850 =2100。75和100之间的整数的异或为 2100.
了解此过程为何有效。 将1到100的整数之和视为1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100并将1到75的整数之和视为1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 。从75到100的整数的总和包括75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. 1-75和1-100的总和是相同的，直到75-此时的总和为1 -75'停止'，并且1-100的总和继续，... ... 75 + 76 + 77 ... + 99 +100。因此，从...的整数之和中减去1-75的整数之和。 1-100 us可以将整数之和从75-100分开的能力。
- 但是，如果我们添加包含性，则必须使用1-74的总和而不是1-75的总和，以确保最终的总和中包括75。
- 同样，当独占时，我们使用1-99的总和而不是1-100的总和，以确保总和中不包括100。我们可以使用1-75的总和，因为从1-99的总和中减去该总和会从我们的最终总和中排除数字75。