如何记住单位圆上的点

内容

脚步
第 1 部分（共 2 部分）：以弧度表示的角度
第 2 部分，共 2 部分：x-y 坐标（余弦、正弦）
提示

单位圆不仅用于三角学和几何学，还用于其他数学分支。乍一看，记住上面所有的奇异点是相当困难的，但如果你理解了基本原理，你就可以轻松使用单位圆。

脚步

第 1 部分（共 2 部分）：以弧度表示的角度

1 画两条垂直线。 拿一张大纸和一把尺子，画垂直线和水平线。这些线的交点应大致位于纸张的中心。这些将是轴 X 和是.
2 画一个圆圈。 拿一个指南针，把它的针放在两条线的交叉点上，画一个大圆圈。
3 熟悉弧度的概念。 弧度是角度的度量单位。根据定义，在单位的圆周上截断一个弧度的角度半径单位长度的弧。在本节中，点将用它们对应的弧度值来表示。如果你记得圆的周长和它的半径之间的关系，你可以很容易地沿着单位圆确定这些值，即使你忘记了它们。
- 沿单位圆测量角度时，始终以坐标为（0；1）的点为起点。为清楚起见，您可以将单位圆想象成风玫瑰的形式，然后参考点将对应于东向。
4 请记住，单位圆的总长度是 2π。 周长是2πr，在哪里 r - 它的半径。由于单位圆的半径为 1，因此其长度为 2π。从这里，您可以找到圆的每个点的弧度值：只需取 2π 并除以与该点对应的圆的分数。这比尝试学习单位圆上每个点的值要容易得多。
5 在轴上标记四个点 X 和是. 这些点将圆分成四个象限（四分之一）：
- “东”是参考点，所以它对应于 0 弧度；
- “北” = ¼ 圈 = /₄ = /₂ 弧度；
- “西” = 半圆 = /₂ = π 弧度；
- “南” = 四分之三圆 = 2π * ¾ = /₂ 弧度；
- 遍历整个圆后，我们返回到起点，因此可以与0一起赋值 2π.
6 将圆圈分成八个部分。 在每个象限的中间画直线，使它们减半。对于直线与圆的交点，我们以弧度为单位获得以下值：
- /₄;
- /₄;
- /₄;
- /₄;
- （点 π / 2、π、3π / 2 和 2π 已标记）.
7 将圆圈分成六个部分。 绘制将圆分成六个部分的附加线。您可以为此使用量角器：从轴的正方向开始 X 并留出 60 度角。使用上面介绍的方法，很容易确定圆的第六部分是/₆ = /₃ 弧度。现在我们可以用圆圈标记新线的交点（每个象限一个）：
- /₃;
- /₃;
- /₃;
- /₃;
- （π和2π的值已经记下了）.
8 绘制将圆分成 12 部分的线。 剩下的就是将单位圆分成 12 个相等的部分。在这些要点中，只有四点以前没有被注意到：
- /₆;
- /₆;
- /₆;
- /₆.

第 2 部分，共 2 部分：x-y 坐标（余弦、正弦）

1 熟悉正弦和余弦的概念。 单位圆非常适合处理直角三角形。坐标 X 位于圆上的点等于 cos (θ)，坐标是对应于 sin (θ)，其中 θ 是角度。
- 如果你觉得很难记住这个规则，只要记住在对 (cos; sin) 中“sine 排在最后”。
- 如果我们考虑直角三角形和这些三角函数的定义（角的正弦等于对边长度之比，余弦是与斜边相邻的边），就可以推导出这条规则。
2 写出圆上四个点的坐标。 “单位圆”是半径等于 1 的圆。使用它来确定坐标 X 和是在坐标轴与圆的四个交点处。上面，为了清楚起见，我们将这些点指定为“东”、“北”、“西”和“南”，尽管它们没有确定的名称。
- “东”对应一个有坐标的点 (1; 0).
- “北”对应有坐标的点 (0; 1).
- “西”对应一个有坐标的点 (-1; 0).
- “南”对应有坐标的点 (0; -1).
- 这和普通图是一样的，所以不需要记住这些值，只要记住基本原理即可。
3 记住第一象限中点的坐标。 第一象限位于圆的右上角，坐标为 X 和是取正值。这些是您需要记住的唯一坐标：
- 点 /₆ 有坐标 ( ${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$ );
- 点 /₄ 有坐标 ( ${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$ );
- 点 /₃ 有坐标 ( ${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$ );
- 请注意，分子仅接受三个值。如果沿正方向移动（沿轴从左到右） X 并沿着轴从下到上是)，分子取值 1 → √2 → √3。
4 画直线并确定它们与圆的交点的坐标。 如果从一个象限的点画直线水平和垂直线，这些线与圆的第二个交点将有坐标 X 和是具有相同的绝对值，但符号不同。换句话说，您可以从第一象限的点绘制水平线和垂直线，并用相同的坐标标记与圆的交点，但同时为正确的符号（“+”或“-”）留出空间“）在左边。
- 例如，您可以在点之间画一条水平线 /₃ 和 /₃...由于第一个点有坐标（ ${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$ )，第二个点的坐标将为 (? ${ displaystyle { frac {1} {2}},? { frac { sqrt {3}} {2}}}$ )，这里用问号代替“+”或“-”号。
- 使用最简单的方法：注意点坐标的分母（以弧度表示）。分母为 3 的所有点都具有相同的绝对坐标值。这同样适用于分母为 4 和 6 的点。
5 使用对称规则来确定坐标的符号。 有几种方法可以确定放置“-”符号的位置：
- 记住常规图表的基本规则。轴 X 左侧为负，右侧为正。轴是负下方和正上方；
- 从第一个象限开始并绘制到其他点的线。如果线穿过轴是，协调 X 将改变其符号。如果线穿过轴 X，坐标的符号会改变是;
- 请记住，在第一象限中所有函数都是正的，在第二象限中只有正弦为正，在第三象限中只有正切为正，在第四象限中只有余弦为正；
- 无论您使用哪种方法，第一象限应该是 (+, +)、第二象限 (-, +)、第三象限 (-, -) 和第四象限 (+, -)。
6 检查你是否错了。 如果沿单位圆逆时针移动，下面是“特殊”点坐标的完整列表（坐标轴上的四个点除外）。请记住，要确定所有这些值，只需记住第一象限中点的坐标即可：
- 第一象限：（ ${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$ );
- 第二象限：（ ${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$ );
- 第三象限：（ ${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$ );
- 第四象限：（ ${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$ ); ( ${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$ ).