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• 脚步
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如果您是数学家或图形程序员，则可能必须找到两个给定向量之间的夹角。在本文中，wikiHow向您展示了如何做到这一点。

脚步

第1部分，共2部分：查找两个向量之间的角度

1. 

   向量定义。 写下有关您拥有的两个向量的所有信息。假设您只有其尺寸坐标的指定参数（也称为组件）。如果您已经知道矢量的长度（幅度），则可以跳过以下一些步骤。
   • 示例：二维向量=（2,2）和二维向量=（0,3）。它们也可以写成= 2一世 + 2Ĵ 和= 0一世 + 3Ĵ = 3Ĵ.
   • 尽管本文的示例中使用了二维矢量，但以下说明可应用于任意数量的矢量。

2. 

   
   
   写下余弦公式。 为了找到两个向量之间的夹角θ，我们从寻找该角度的余弦的公式开始。您可以在下面了解此公式，或者像这样写下来：
   • cosθ=（•）/（|||| |||||）
   • ||||表示“向量的长度”。
   • •是两个向量的标量积-将在下面说明。

3. 

   
   
   计算每个向量的长度。 想象一下，直角三角形由向量的x，y分量以及向量本身组成。向量形成三角形的斜边，因此使用勾股定理来确定其长度。实际上，该公式可以很容易地扩展到任意数量的向量。
   • || u || =你₁ +你₂。如果向量具有两个以上的元素，则只需继续添加+ u₃ +你₄ +...
   • 因此，对于二维向量， || u || =√（u₁ +你₂).
   • 在此示例中，|||| =√（2 + 2）=√（8）= 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   计算两个向量的标量积。 也许您已经了解了向量乘法的方法，也称为 标量 这个。要计算相对于其成分的标量积，请将各个方向上的成分相乘，然后将整个结果相加。
   • 对于图形程序，请在进一步阅读之前参考提示。
   • 在数学上 •= u₁v₁ +你₂v₂，其中，u =（u₁，₂）。如果向量具有两个以上的元素，只需加+ u₃v₃ +你₄v₄...
   • 在此示例中，•= u₁v₁ +你₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6。这是向量和向量的标量积。

5. 

   将获得的结果放在公式中。 请记住，cosθ=（•）/（|||| || ||）。现在我们知道了标量积和每个向量的长度。将它们输入公式以计算角度的余弦。
   • 在我们的示例中，cosθ= 6 /（2√2 * 3）= 1 /√2=√2/ 2。

6. 

   根据其余弦找到角度。 您可以在计算器中使用arccos或cos函数从已知的cos值中找到θ。通过一些结果，您可以基于单位圆找到角度。
   • 在示例中，cosθ=√2/2。在计算器中输入“ arccos（√2/ 2）”以找到角度。或者，您可以在cosθ=√2/ 2的位置上找到单位圆上的角度θ。 θ = /₄ 或45º.
   • 结合所有内容，最终公式为：角度θ=反余弦（（•）/（|||| ||| ||））
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第2部分，共2部分：角度公式的确定

1. 

   了解公式的目的。 此公式不是从现有规则得出的。取而代之的是，它被定义为标量积和两个向量之间的夹角。即使这样，这也不是一个任意决定。回到基本几何，我们可以理解为什么此公式提供直观且有用的定义。
   • 下面的示例使用二维矢量，因为它们最容易理解和最简单。三维或更多个矢量具有几乎由相似的通式定义的属性。

2. 

   回顾余弦定理。 考虑一个普通的三角形，在侧面a和b之间（与侧面c相反），角度为θ。余弦定理指出c = a + b -2abcos（θ）。该结果非常简单地从基本几何图形得出。

3. 

   连接两个向量，形成一个三角形。 在纸张，向量和向量上绘制一对二维向量，其中θ是它们之间的夹角。在这两个之间绘制第三个向量以创建三角形。换句话说，绘制一个向量，使+ =。向量=-。

4. 

   写出这个三角形的余弦定理。 将“向量三角形”的边长代入余弦定理：
   • ||（a-b）|| = || a || + || b || -2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   用标量积重写。 请记住，标量积是一个矢量在另一个矢量上的图像。向量与其自身的标量积不需要投影，因为在这里，方向没有差异。这意味着•= || a ||。使用这个，我们重写方程式：
   • （-）•（-）=•+•-2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   成功重写了相同的公式。 展开公式的左侧，然后简化以获取用于查找角度的公式。
   • •-•-•+•=•+•-2 || a || || b ||cos(θ)
   • -•-•= -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2（•）= -2 || a || || b ||cos(θ)
   • •= || a || || b ||cos(θ)
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忠告

• 要更改值并快速解决问题，请将此公式用于任意一对二维向量：cosθ=（u₁ •v₁ +你₂ •v₂）/（√（u₁ •你₂）•√（v₁ •v₂)).
• 如果您使用的是计算机图形软件，则可能只需要关心向量的尺寸而不必担心它们的长度。使用以下步骤来缩短方程式并加快程序速度：
  • 标准化每个向量，使其等于1。为此，将每个向量分量除以其长度。
  • 获取标量而不是原始向量的归一化乘积。
  • 由于长度为1，我们可以从等式中排除长度元素。最后，获得的角度方程为arccos（•）。
• 根据余弦公式，我们可以快速确定角度是锐角还是钝角。以cosθ=（•）/（|||| |||||）开始：
  • 等式的左侧和右侧必须具有相同的符号（正或负）。
  • 由于长度始终为正，因此cosθ必须与标量积具有相同的符号。
  • 因此，如果乘积为正，则cosθ也为正。我们在单位圆的第一象限中，θ<π/ 2或90º。找到的角度是锐角。
  • 如果标量积为负，则cosθ为负。我们在单位圆的第二象限中，π/ 2 <θ≤π或90º<θ≤180º。那是监狱的角落。