如何划分矩阵

内容

简要总结
脚步
第 1 部分（共 3 部分）：测试矩阵的可分性
第 2 部分（共 3 部分）：求逆矩阵
第 3 部分（共 3 部分）：矩阵乘法
提示
警告
附加文章

如果你知道如何将两个矩阵相乘，你就可以开始“划分”矩阵了。 “除法”一词用引号括起来，因为矩阵实际上不能被除法。除法运算被一个矩阵乘以第二个矩阵的逆矩阵的运算代替。为简单起见，考虑一个整数示例：10 ÷ 5。求 5 的倒数：5 或 /₅，然后用乘法代替除法：10 x 5；除法和乘法的结果是一样的。因此，认为可以用逆矩阵乘法代替除法。通常，此类计算用于求解线性方程组。

简要总结

你不能划分矩阵。不是除法，而是将一个矩阵乘以第二个矩阵的逆矩阵。两个矩阵的“除法” [A] ÷ [B] 的写法如下：[A] * [B] 或 [B] * [A]。
如果矩阵 [B] 不是方阵，或者它的行列式是 0，写下“没有明确的解”。否则，找到矩阵 [B] 的行列式并转到下一步。
求逆：[B]。
将矩阵相乘以找到 [A] * [B] 或 [B] * [A]。请记住，矩阵相乘的顺序会影响最终结果（即，结果可能会有所不同）。

脚步

第 1 部分（共 3 部分）：测试矩阵的可分性

1 理解矩阵的“除法”。 事实上，矩阵不能被划分。没有像“将一个矩阵除以另一个”这样的数学运算。除法被替换为将一个矩阵乘以第二个矩阵的逆矩阵。即记法[A]÷[B]不正确，所以用如下记法代替：[A]*[B]。由于两个条目在标量值的情况下是等效的，理论上我们可以谈论矩阵的“除法”，但使用正确的术语仍然更好。
- 注意 [A] * [B] 和 [B] * [A] 是不同的操作。可能需要执行这两种操作才能找到所有可能的解决方案。
- 例如，代替 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ 写下来 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  你可能需要计算 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ 得到不同的结果。
2 确保您“除”另一个矩阵的矩阵是正方形。 要求矩阵的求逆（求矩阵的逆），它必须是方阵，即具有相同的行数和列数。如果逆矩阵不逆，则无定解。
- 同样，矩阵在这里不可“整除”。在操作 [A] * [B] 中，所描述的条件是指矩阵 [B]。在我们的例子中，这个条件指的是矩阵 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- 可以反转的矩阵称为非退化矩阵或正则矩阵。不能求逆的矩阵称为退化矩阵或奇异矩阵。
3 检查两个矩阵是否可以相乘。 要将两个矩阵相乘，第一个矩阵中的列数必须等于第二个矩阵中的行数。如果条目[A]*[B]或[B]*[A]中不满足此条件，则无解。
- 例如，如果矩阵 [A] 的大小为 4 x 3，矩阵 [B] 的大小为 2 x 2，则无解。你不能乘 [A] * [B] 因为 4 ≠ 2，你不能乘 [B] * [A] 因为 2 ≠ 3。
- 请注意，逆矩阵 [B] 始终具有与原始矩阵 [B] 相同的行数和列数。不需要找到逆矩阵来检查两个矩阵是否可以相乘。
- 在我们的示例中，两个矩阵的大小都是 2 x 2，因此它们可以按任意顺序相乘。
4 找到 2 × 2 矩阵的行列式。 请记住：只有当矩阵的行列式不为零时，您才能反转矩阵（否则，您无法反转矩阵）。以下是如何找到 2 x 2 矩阵的行列式：
- 2 x 2 矩阵： 矩阵的行列式 ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ 等于 ad - bc。即从主对角线（经过左上角和右下角）的元素的乘积中，减去另一对角线（经过右上角和左下角）的元素的乘积。
- 例如，矩阵的行列式 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ 等于 (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13。行列式非零，所以这个矩阵可以反转。
5 找到较大矩阵的行列式。 如果矩阵的大小为 3 x 3 或更大，则行列式计算稍微困难一些。
- 3 x 3 矩阵：选择任何项目并划掉它所在的行和列。求所得2×2矩阵的行列式，然后乘以所选元素；在特殊表中指定行列式的符号。对与您选择的项目位于同一行或列中的其他两个项目重复此过程。然后找到接收到的（三个）行列式的总和。阅读本文以了解有关如何找到 3 x 3 矩阵的行列式的更多信息。
- 大矩阵：最好使用图形计算器或软件来寻找此类矩阵的行列式。该方法与求3×3矩阵行列式的方法类似，但手动应用比较繁琐。例如，要找到 4 x 4 矩阵的行列式，您需要找到四个 3 x 3 矩阵的行列式。
6 继续计算。 如果矩阵不是方阵或其行列式为零，则写“无明确解”，即计算过程完成。如果矩阵是方阵并且有一个非零行列式，跳到下一节。

第 2 部分（共 3 部分）：求逆矩阵

1 交换 2 x 2 矩阵的主对角线的元素。 给定一个 2 × 2 矩阵，使用快速逆方法。首先，交换左上角元素和右下角元素。例如：
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- 笔记： 大多数人使用计算器来反转 3 x 3（或更大）的矩阵。如果您需要手动执行此操作，请转到本节末尾。
2 不要交换剩下的两个元素，而是改变它们的符号。 也就是说，将右上角的元素和左下角的元素乘以 -1：
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 求行列式的倒数。 这个矩阵的行列式在上一节中已经找到，所以我们不再计算它。行列式的逆写成如下：1/（行列式）：
- 在我们的例子中，行列式是 13。反转值： ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 将结果矩阵乘以行列式的倒数。 将新矩阵的每个元素乘以行列式的逆。最终矩阵将是原始 2 x 2 矩阵的逆矩阵：
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 检查计算是否正确。 为此，请将原始矩阵乘以其逆矩阵。如果计算正确，原始矩阵与逆矩阵的乘积将给出单位矩阵： (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}...如果测试成功，请继续下一部分。
- 在我们的例子中： ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- 有关如何乘以矩阵的更多信息，请阅读本文。
- 注意：矩阵乘法的运算不是可交换的，即矩阵的顺序很重要。但是当原始矩阵乘以其逆矩阵时，任何阶都会导致单位矩阵。
6 求 3 x 3 矩阵的逆矩阵 （或更大）。 如果您已经熟悉这个过程，最好使用图形计算器或专用软件。如果需要手动求逆矩阵，过程简述如下：
- 在原始矩阵的右侧加入单位矩阵 I。例如，[B] → [B |一世]。对于单位矩阵，主对角线的所有元素都等于1，其他所有元素都等于0。
- 简化矩阵，使其左侧变为阶梯状；继续简化，使左侧成为单位矩阵。
- 简化后，矩阵将采用以下形式：[I |乙]。也就是说，它的右边是原始矩阵的逆矩阵。

第 3 部分（共 3 部分）：矩阵乘法

1 写出两种可能的表达方式。 两个标量相乘的运算是可交换的，即 2 x 6 = 6 x 2。在矩阵乘法的情况下不是这种情况，因此您可能需要解决两个表达式：
- X = [A] * [B] 是方程的解 X[B] = [A]。
- X = [B] * [A] 是方程 [B] 的解X = [A]。
- 在等式两边执行每个数学运算。如果 [A] = [C] 那么 [B] [A] ≠ [C] [B] 因为 [B] 在 [A] 的左边但在 [C] 的右边。
2 确定最终矩阵的大小。 最终矩阵的大小取决于相乘矩阵的大小。最终矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，最终矩阵的列数等于第二个矩阵的列数。
- 在我们的例子中，两个矩阵的大小 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ 和 ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ 是 2 x 2，所以原始矩阵的大小将为 2 x 2。
- 考虑一个更复杂的例子：如果矩阵 [A] 的大小是 4 x 3，矩阵 [B] 的大小为 3 x 3，那么最终矩阵 [A] * [B] 将是 4 x 3。
3 找出第一个元素的值。 阅读本文或记住以下基本步骤：
- 要找到最终矩阵 [A] [B] 的第一个元素（第一行，第一列），计算矩阵 [A] 第一行的元素与矩阵 [B] 第一列的元素的点积]。在 2 x 2 矩阵的情况下，点积计算如下： ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- 在我们的例子中： ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ...因此，最终矩阵的第一个元素将是以下元素：
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ 显示样式 = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 继续计算点积以找到最终矩阵的每个元素。 例如，位于第二行第一列的元素等于矩阵[A]的第二行和矩阵[B]的第一列的点积。尝试自己找到剩余的项目。您应该得到以下结果：
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- 如果您需要寻找其他解决方案： ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 结束 {pmatrix}}}$

提示

矩阵可以分为标量；为此，矩阵的每个元素都除以一个标量。
- 例如，如果矩阵 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ 除以2，你得到矩阵 ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$