内容

• 脚步
• 提示

ax + bx + c 或 a (x - h) + k 形式的二次方程的图形是抛物线（U 形曲线）。绘制这样的方程，你需要找到抛物线的顶点，它的方向以及与X轴和Y轴的交点。如果给出一个相对简单的二次方程，那么你可以用不同的值来代替“x” ”进去，找到“y”对应的值，建图...

脚步

1. 1 二次方程可以写成标准形式和非标准形式。 您可以使用任何类型的方程来绘制二次方程（绘制方法略有不同）。通常，在问题中，二次方程以标准形式给出，但本文将告诉您有关编写二次方程的两种类型。
   • 标准形式：f(x)=ax+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0。
     • 例如，标准形式的两个方程：f (x) = x + 2x + 1 和 f (x) = 9x + 10x -8。
   • 非标准形式：f(x)=a(x-h)+k，其中a、h、k为实数，a≠0。
     • 例如，两个非标准形式的方程：f (x) = 9 (x - 4) + 18 和 -3 (x - 5) + 1。
   • 要绘制任何类型的二次方程，首先需要找到坐标为 (h, k) 的抛物线的顶点。标准形式方程中抛物线顶点坐标的计算公式为：h=-b/2a和k=f(h)；非标准形式的方程中抛物线的顶点坐标可以直接从方程中得到。
2. 2 要绘制图形，您需要找到系数 a、b、c（或 a、h、k）的数值。 在大多数问题中，二次方程都给出了系数的数值。
   • 例如，在标准方程中 f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39。
   • 例如，在非标准方程中 f (x) = 4 (x - 5) + 12，a = 4，h = 5，k = 12。
3. 3 使用以下公式计算标准方程中的 h（在非标准中已经给出）： h = -b / 2a。
   • 在我们的标准方程示例中，f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4。
   • 在我们的非标准方程示例中，f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5。
4. 4 在标准方程中计算 k（在非标准中它已经给出）。 记住k = f(h)，也就是说，你可以通过将找到的h的值而不是“x”代入原始方程来找到k。
   • 您发现 h = -4（对于标准方程）。要计算 k，请将此值替换为“x”：
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39。
     • k = 2 (16) - 64 + 39。
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • 在非标准方程中，k = 12。
5. 5 在坐标平面上绘制一个坐标为 (h, k) 的顶点。 h 沿 X 轴绘制，k 沿 Y 轴绘制。抛物线的顶部要么是最低点（如果抛物线朝上）要么是最高点（如果抛物线朝下）。
   • 在我们的标准方程示例中，顶点的坐标为 (-4, 7)。在坐标平面上绘制该点。
   • 在我们的自定义方程示例中，顶点的坐标为 (5, 12)。在坐标平面上绘制该点。
6. 6 绘制抛物线的对称轴（可选）。 对称轴穿过平行于 Y 轴（即严格垂直）的抛物线顶点。对称轴将抛物线一分为二（即抛物线关于该轴镜像对称）。
   • 在我们的示例标准方程中，对称轴是一条平行于 Y 轴并通过点 (-4, 7) 的直线。虽然这条线不是抛物线本身的一部分，但它给出了抛物线对称性的概念。
7. 7 确定抛物线的方向 - 向上或向下。 这很容易做到。如果系数“a”为正，则抛物线向上；如果系数“a”为负，则抛物线向下。
   • 在我们的标准方程示例中，f (x) = 2x + 16x + 39，抛物线向上，因为 a = 2（正系数）。
   • 在我们的非标准方程 f (x) = 4 (x - 5) + 12 的示例中，抛物线也指向上方，因为 a = 4（正系数）。
8. 8 如有必要，定位并绘制 x 截距。 在绘制抛物线时，这些要点会很有帮助。可以有两个、一个或没有（如果抛物线指向上方且其顶点位于 X 轴上方，或者抛物线指向下方且其顶点位于 X 轴下方）。要计算与 X 轴交点的坐标，请执行以下操作：
   • 将方程设置为零：f (x) = 0 并求解。这种方法适用于简单的二次方程（尤其是非标准方程），但对于复杂的方程可能非常困难。在我们的例子中：
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12。抛物线与 X 轴的交点具有坐标 (11,0) 和 (13,0)。
   • 分解标准形式的二次方程：ax + bx + c = (dx + e) (fx + g)，其中dx × fx = ax，(dx × g + fx × e) = bx，e × g = C。然后将每个二项式设置为 0 并找到“x”的值。例如：
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • 在这种情况下，抛物线与坐标为 (-1,0) 的 x 轴有一个交点，因为在 x + 1 = 0 x = -1。
   • 如果您无法分解方程，请使用二次公式求解：x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a。
     • 例如：-5x + 1x + 10。
     • x = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) 和 (-15.18 / -10)。抛物线与 X 轴的交点坐标为 (-1,318,0) 和 (1,518,0)。
     • 在我们的示例中，标准形式的方程为 2x + 16x + 39：
     • x = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) / - 10
     • 由于不可能提取负数的平方根，因此在这种情况下抛物线不与 X 轴相交。
9. 9 根据需要定位并绘制 y 轴截距。 这很容易 - 将 x = 0 代入原始方程并找到“y”的值。 Y 轴截距始终相同。注：在标准形式的方程中，交点的坐标为(0, s)。
   • 例如，二次方程 2x + 16x + 39 的抛物线在坐标为 (0, 39) 的点与 Y 轴相交，因为 c = 39。但这可以计算：
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39，即该二次方程的抛物线在坐标(0, 39)处与Y轴相交。
   • 在我们的非标准方程 4 (x - 5) + 12 示例中，y 截距计算如下：
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112，即该二次方程的抛物线在坐标(0, 112)处与Y轴相交。
10. 10 您已经找到（并绘制了）抛物线的顶点、方向以及与 X 轴和 Y 轴的交点。 您可以从这些点构建抛物线或查找并绘制其他点，然后才构建抛物线。为此，将多个 x 值（在顶点的任一侧）插入原始方程以计算相应的 y 值。
    • 让我们回到方程 x + 2x + 1。您已经知道，该方程的图形与 X 轴的交点是坐标为 (-1,0) 的点。如果抛物线与 X 轴只有一个交点，那么这就是抛物线在 X 轴上的顶点，在这种情况下，一个点不足以构建正则抛物线。所以找一些额外的点。
      • 假设 x = 0，x = 1，x = -2，x = -3。
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. 点坐标： (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. 点坐标： (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. 点坐标： (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. 点坐标： (-3,4).
      • 在坐标平面上绘制这些点并绘制一条抛物线（用 U 形曲线连接这些点）。请注意抛物线是绝对对称的——抛物线一个分支上的任何点都可以镜像（相对于对称轴）到抛物线的另一个分支上。这将节省您的时间，因为您不需要计算抛物线两个分支上的点的坐标。

提示

• 四舍五入小数（如果这是老师的要求） - 这就是您构建正确抛物线的方式。
• 如果在 f (x) = ax + bx + c 中，系数 b 或 c 为零，则方程中没有这些系数的项。例如，12x + 0x + 6 变为 12x + 6，因为 0x 是 0。