内容

• 脚步
• 方法 1 of 2：两条线的交点
• 方法 2 of 2：二次函数问题
• 提示

在二维空间中，两条直线仅相交于一个点，由坐标 (x, y) 指定。由于两条直线都通过它们的交点，坐标 (x, y) 必须满足描述这些直线的两个方程。通过一些额外的技巧，您可以找到抛物线和其他二次曲线的交点。

脚步

方法 1 of 2：两条线的交点

1. 1 通过隔离方程左侧的 y 变量，写下每一行的方程。 等式中的其他项应放在等式的右侧。也许给出的方程而不是“y”将包含变量 f (x) 或 g (x)；在这种情况下，隔离这样一个变量。要隔离变量，请在等式两侧执行适当的数学运算。
   • 如果没有给你直线方程，根据你知道的信息找到它们。
   • 例子...给定是由方程描述的直线 ${ displaystyle y = x + 3}$ 和 ${ displaystyle y-12 = -2x}$...要隔离第二个等式中的 y，请在等式两边加上 12： ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 将每个等式右侧的表达式等式。 我们的任务是找到两条直线的交点，即坐标（x，y）满足两个方程的点。由于变量“y”位于每个方程的左侧，因此位于每个方程右侧的表达式可以等式。写下新方程。
   • 例子...作为 ${ displaystyle y = x + 3}$ 和 ${ displaystyle y = 12-2x}$，那么你可以写出以下等式： ${ 显示样式 x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 找到变量“x”的值. 新方程只包含一个变量“x”。要找到“x”，请通过在等式两侧执行适当的数学运算来隔离等式左侧的此变量。您应该得到形式为 x = __ 的方程（如果不可能，请跳到本节末尾）。
   • 例子. ${ 显示样式 x + 3 = 12-2x}$
   • 添加 ${ 显示样式 2x}$ 到等式的每一边：
   • ${ 显示样式 3x + 3 = 12}$
   • 从等式的每一边减去 3：
   • ${ 显示样式 3x = 9}$
   • 将等式的每一边除以 3：
   • ${ 显示样式 x = 3}$.
4. 4 使用找到的变量“x”的值来计算变量“y”的值。 为此，在方程（任何）直线中替换找到的值“x”。
   • 例子. ${ 显示样式 x = 3}$ 和 ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ 显示样式 y = 3 + 3}$
   • ${ 显示样式 y = 6}$
5. 5 检查你的答案。 为此，将值“x”替换为该行的另一个方程并找到值“y”。如果您得到不同的 y 值，请检查您的计算是否正确。
   • 例子：${ 显示样式 x = 3}$ 和 ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ 显示样式 y = 12-6}$
   • ${ 显示样式 y = 6}$
   • 我们得到了相同的“y”值，所以我们的计算没有错误。
6. 6 写下坐标 (x, y)。 通过计算“x”和“y”的值，您已经找到了两条线的交点坐标。以 (x, y) 的形式写下交点的坐标。
   • 例子. ${ 显示样式 x = 3}$ 和 ${ 显示样式 y = 6}$
   • 因此，两条线在坐标 (3,6) 的一点相交。
7. 7 特殊情况下的计算。 在某些情况下，无法找到变量“x”的值。但这并不意味着你犯了错误。当满足以下条件之一时，会发生特殊情况：
   • 如果两条线平行，则它们不相交。在这种情况下，变量“x”将被简单地取消，方程将变成无意义的等式（例如， ${ 显示样式 0 = 1}$）。在这种情况下，请在您的答案中写下 直线不相交 要么 没有解决方案.
   • 如果两个方程都描述一条直线，那么就会有无数个交点。在这种情况下，变量“x”将被简单地取消，方程将变成严格相等（例如， ${ 显示样式 3 = 3}$）。在这种情况下，请在您的答案中写下 两条直线重合.

方法 2 of 2：二次函数问题

1. 1 二次函数的定义。 在二次函数中，一个或多个变量具有二阶（但不更高），例如， ${ displaystyle x ^ {2}}$ 要么 ${ displaystyle y ^ {2}}$...二次函数图是在一个或两个点上可能不相交或相交的曲线。在本节中，我们将向您展示如何找到二次曲线的一个或多个交点。
   • 如果方程包括括号中的表达式，请展开括号以确保函数是二次的。例如，函数 ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ 是二次的，因为扩大括号给出 ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • 描述圆的函数包括 ${ displaystyle x ^ {2}}$和 ${ displaystyle y ^ {2}}$...如果您在使用此功能解决问题时遇到任何问题，请转到“提示”部分。
2. 2 通过隔离方程左侧的 y 变量来重写每个方程。 等式中的其他项应放在等式的右侧。
   • 例子...找到图形的交点 ${ displaystyle x ^ {2} + 2x-y = -1}$ 和 ${ displaystyle y = x + 7}$
   • 隔离方程左侧的 y 变量：
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ 和 ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • 在本例中，您将获得一个二次函数和一个线性函数。请记住，如果给定两个二次函数，则计算类似于以下步骤。
3. 3 将每个等式右侧的表达式等式。 由于变量“y”位于每个方程的左侧，因此位于每个方程右侧的表达式可以等式。
   • 例子. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ 和 ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 将所得方程的所有项转移到其左侧，并在右侧写入 0。 为此，请执行基本的数学运算。这将允许您求解所得方程。
   • 例子. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • 从等式两边减去“x”：
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • 等式两边减去7：
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 求解二次方程. 将方程的所有项移到其左侧，您会得到一个二次方程。它可以通过三种方式解决：使用特殊公式、补全平方和分解方程。
   • 例子. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • 对方程进行因式分解时，您会得到两个二项式，将它们相乘以获得原始方程。在我们的例子中，第一项 ${ displaystyle x ^ {2}}$ 可以展开为x*x。输入以下内容：(x) (x) = 0
   • 在我们的示例中，自由项 -6 可以扩展为以下因子： ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ displaystyle -2 * 3}$, ${ displaystyle -1 * 6}$.
   • 在我们的示例中，第二项是 x（或 1x）。添加每对截距因子（在我们的示例中为 -6），直到得到 1。在我们的示例中，合适的截距因子对是 -2 和 3（${ displaystyle -2 * 3 = -6}$）， 作为 ${ 显示样式 -2 + 3 = 1}$.
   • 用找到的数字对填空： ${ 显示样式 (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 不要忘记两个图形的第二个交点。 匆匆忙忙，你可以忘记第二个交点。以下是如何找到两个交点的 x 坐标：
   • 示例（因式分解）...如果在等式中 ${ 显示样式 (x-2) (x + 3) = 0}$ 括号中的表达式之一将等于0，那么整个等式将等于0。因此，您可以这样写： ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ 显示样式 x = 2}$ 和 ${ 显示样式 x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ （也就是说，您找到了方程的两个根）。
   • 示例（使用公式或补全正方形）...当使用其中一种方法时，平方根将出现在求解过程中。例如，我们示例中的方程将采用以下形式 ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$...请记住，取平方根时会得到两个解。在我们的例子中： ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, 和${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$...所以写下两个方程并找到两个 x 值。
7. 7 图形在一点相交或根本不相交。 当满足以下条件时，就会发生这种情况：
   • 如果图形在一点相交，则二次方程分解为相同的因子，例如，(x-1) (x-1) = 0，公式中出现0的平方根（${ displaystyle { sqrt {0}}}$）。在这种情况下，方程只有一个解。
   • 如果图根本不相交，则方程没有分解为因子，公式中出现负数的平方根（例如， ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$）。在这种情况下，在答案中写下 没有解决方案.
8. 8 替换曲线方程（任何）中变量“x”的发现值。 这将找到 y 变量的值。如果变量“x”有两个值，请按照所描述的过程使用“x”的两个值。
   • 例子...你找到了变量“x”的两个值： ${ 显示样式 x = 2}$ 和 ${ displaystyle x = -3}$...将这些值中的每一个代入一个线性方程 ${ displaystyle y = x + 7}$...你会得到 ： ${ 显示样式 y = 2 + 7 = 9}$ 和 ${ 显示样式 y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 以 (x, y) 的形式写下交点的坐标。 通过计算 x 和 y 值，您已经找到了两个图形交点的坐标。如果您已经确定了两个值“x”和“y”，请记下这两对坐标，不要混淆对应的值“x”和“y”。
   • 例子...当代入方程时 ${ 显示样式 x = 2}$ 你会得到 ${ 显示样式 y = 9}$，即一对坐标 (2, 9)...通过对第二个 x 值进行相同的计算，您将获得第二对坐标 (-3, 4).

提示

• 描述圆的函数包括 ${ displaystyle x ^ {2}}$和 ${ displaystyle y ^ {2}}$...要找到圆和直线的交点，请使用线性方程计算“x”。然后将找到的 x 值代入描述圆的函数，你会得到一个简单的二次方程，它可能没有解或只有一两个解。
• 圆和曲线（二次曲线或其他曲线）不能相交或相交于一个、两个、三个、四个点。在这种情况下，您需要找到 x 的值（不是“x”），然后将其代入第二个函数。通过计算 y，您会得到一两个解，或者根本没有解。现在将找到的值“y”插入两个函数之一并找到值“x”。在这种情况下，您将获得一两个解决方案，或者根本没有解决方案。