用分数求解方程

内容

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方法2之1：方法1：交叉乘法
方法2之2：方法二：求分母的最小公倍数（LCM）
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有理函数是在分子或分母中具有一个或多个变量的分数。有理方程是包含至少一个有理表达式的任何方程。像常见的代数方程式一样，可以通过对方程式的两边应用相同的运算，直到变量被隔离到等号的一侧，来求解有理表达式。交叉乘积和找到分母的最小公倍数这两种特殊方法对于隔离变量和求解有理方程特别有用。

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方法2之1：方法1：交叉乘法

如有必要，请重新排列方程式，以确保等号的两边都有分数。 交叉乘法是求解有理方程的快速方法。不幸的是，该方法仅适用于在等号的两边具有正好一个有理数表示或分数的有理方程。如果您的方程式不是这种情况，那么您可能需要一些代数运算才能将这些项放在正确的位置。
- 例如，通过将x /（-2）加到方程式的任一边，可以容易地将方程式（x + 3）/ 4-x /（-2）= 0转换为正确的乘积形式。看起来像这样：（x + 3）/ 4 = x /（-2）。
  - 请记住，通过将分母赋予分母1，可以将小数和整数转换为分数。例如，可以将（x + 3）/ 4-2.5 = 5重写为（x + 3）/ 4 = 7.5 / 1，从而可以应用交叉乘法。
- 一些有理方程式不能轻易地转换成正确的形式。在这种情况下，请使用分母的最小公倍数的方法。
交叉乘法。 交叉乘法只是意味着将一个分数的分子乘以另一个的分母，反之亦然。将等号左边的分子的分子乘以右边的分数。重复右边的分子和左边的分数的分母。
- 交叉乘法是根据常见的代数原理进行的。通过将分母相乘，可以将有理表达式和其他分数转换为正数。基本上，交叉乘法是将等式两边乘以分数的两个分母的简便快捷方式。你不相信吗？试试看-简化后您会看到相同的结果。
使两个乘积彼此相等。 交叉相乘后，剩下两个乘积。使这两个项相等，并简化它们以在等式的两边获得最简单的项。
- 例如，如果（x + 3）/ 4 = x /（-2）是您的原始有理表达式，则在交叉乘法后，它等于-2（x + 3）= 4x。可以选择将其重写为-2x-6 = 4x。
解决变量。 使用代数运算来找到方程式中变量的值。请记住，如果x出现在等号的两侧，则通过添加或减去x项，确保等号的一侧只有x个项。
- 在我们的示例中，可以将等式的两边都除以-2，从而得到x + 3 = -2x。从等号两边减去x得到3 = -3x。最后，将两边都除以-3，我们得到-1 = x，或者x = -1。现在我们发现x可以解决我们的有理方程。

方法2之2：方法二：求分母的最小公倍数（LCM）

当找到分母的最小公倍数时，很容易理解。 分母的最小公倍数（LCM）可用于简化有理方程，从而有可能找到其变量的值。如果不能轻易将有理方程式改写成等号两边只有一个分数或有理表达式的形式，那么找到一个LCM是个好主意。对于求解包含三个或更多项的有理方程，LCM是有用的工具。但是对于仅用两个项求解有理方程，交叉乘法通常会更快。
检查每个分数的分母。 查找可以被任何分母完全整除的最小数字。这是等式的LCM。
- 有时，最小公倍数-每个分母可以完全整除的最小数-会立即显现出来。例如，如果您的表达式看起来像x / 3 + 1/2 =（3x +1）/ 6，那么很容易看出LCM必须被3、2和6整除，因此等于6。
- 但是更多时候，一个合理的比较的LCM根本不是立即清楚的。在这种情况下，请尝试使用最大分母的倍数，直到找到包含其他较小分母的倍数的数字。 LCM通常是两个分母的乘积。例如，取方程x / 8 + 2/6 =（x-3）/ 9，其中LCM等于8 * 9 = 72。
- 如果一个或多个分母包含一个变量，则此过程将有些困难，但这绝不是不可能的。在这些情况下，LCM是一个完全适合所有分母的表达式（带有变量），而不仅仅是单个数字。例如，等式5 /（x-1）= 1 / x + 2 /（3x），其中LCM等于3x（x-1），因为它可以被任何分母完全除以-除以（x-1 ）产生3倍，除以3倍产生（x-1），除以x产生3（x-1）。
将有理方程中的每个分数乘以1。 将每个项乘以1似乎没有用，但是这里有一个窍门。即，1可以写为小数-例如2/2和3/3。将有理方程式中的每个分数乘以1，每次将数字或项乘以每个分母则写1，以得到LCM作为分数。
- 在我们的示例中，我们可以将x / 3乘以2/2得到2x / 6，再将1/2乘以3/3得到3/6。 3x +1/6的分母已经为6（lcm），因此我们可以将其乘以1/1或保留它。
- 在以分母为变量的示例中，整个过程要复杂一些。由于LCM等于3x（x-1），因此我们将每个有理表达式乘以一个分数得出3x（x-1）的分数。我们将5 /（x-1）乘以（3x）/（3x），得出5（3x）/（3x）（x-1），我们将1 / x乘以3（x-1）/ 3（x -1），得出3（x-1）/ 3x（x-1），然后将2 /（3x）乘以（x-1）/（x-1），最后得出2（x-1）/ 3倍（x-1）。
简化并求解x。 既然您的有理方程中的每个项都有相同的分母，则可以从方程中消除分母并求解分子。只需将等式的两边乘以LCM即可消除分母，从而只剩下分子。现在，它已成为一个正则方程，您可以通过在等号的一侧将其隔离来求解该变量。
- 在我们的示例中，乘以1作为分数后，我们得到2x / 6 + 3/6 =（3x + 1）/ 6。如果两个分母具有相同的分母，则可以相加，因此我们可以将该等式写为（2x + 3）/ 6 =（3x +1）/ 6，而无需更改其值。将两侧乘以6可以消除分母，剩下2x + 3 = 3x + 1。在这里，从两边减去1剩下2x + 2 = 3x，从两边减去2x剩下2 = x，这也可以写成x = 2。
- 在分母为变量的示例中，将每一项乘以“ 1”后的方程式等于5（3x）/（3x）（x-1）= 3（x-1）/ 3x（x-1）+ 2（ x-1）/ 3x（x-1）。将每个项乘以LCM可以消除分母，这现在得到5（3x）= 3（x-1）+ 2（x-1）。进一步详细说明，它变为15x = 3x-3 + 2x -2，可以再次简化为15x = x-5。从两侧减去x得出14x = -5，因此最终答案可以简化为x =- 5/14。