内容

• 脚步
• 方法 1 of 3：如何找到未知的一面
• 方法 2 of 3：寻找未知角度
• 方法 3（共 3 个）：示例问题
• 提示

余弦定理广泛用于三角学。它用于处理不规则三角形以查找未知量，例如边和角。该定理类似于勾股定理，并且相当容易记住。余弦定理说，在任何三角形中 ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

脚步

方法 1 of 3：如何找到未知的一面

1. 1 写下已知值。 要找到三角形的未知边，您需要知道另外两条边以及它们之间的角度。
   • 例如，给定一个三角形 XYZ。 YX边5厘米，YZ边9厘米，Y角89°。 XZ侧是什么？
2. 2 写出余弦定理公式。 公式： ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$， 在哪里 ${ displaystyle c}$ - 未知的一方， ${ displaystyle cos {C}}$ - 与未知侧相反的角度的余弦， ${ displaystyle a}$ 和 ${ 显示样式 b}$ - 两个众所周知的方面。
3. 3 将已知值代入公式。 变量 ${ displaystyle a}$ 和 ${ 显示样式 b}$ 表示两个已知的边。多变的 ${ 显示样式 C}$ 是位于边之间的已知角度 ${ displaystyle a}$ 和 ${ 显示样式 b}$.
   • 在我们的例子中，XZ 边是未知的，所以在公式中它表示为 ${ displaystyle c}$...由于边 YX 和 YZ 已知，它们由变量表示 ${ displaystyle a}$ 和 ${ 显示样式 b}$...多变的 ${ 显示样式 C}$ 是角度Y。因此，公式将写为： ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 求已知角度的余弦。 用计算器来做。输入角度值，然后单击 ${ displaystyle COS}$...如果您没有科学计算器，请在此处查找在线余弦表。同样在Yandex，你可以输入“X度的余弦”（用角度值代替X），搜索引擎会显示角度的余弦。
   • 例如，余弦是 89°≈0.01745。所以： ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 乘以数字。 乘 ${ displaystyle 2ab}$ 由已知角度的余弦。
   • 例如：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 折叠已知边的正方形。 记住，要平方一个数字，它必须乘以它自己。首先，将相应的数字平方，然后将结果值相加。
   • 例如：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 减去两个数字。 你会找到 ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • 例如：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 取这个值的平方根。 为此，请使用计算器。这就是你如何找到未知的一面。
   • 例如：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     所以，未知边是 10.2191 厘米。

方法 2 of 3：寻找未知角度

1. 1 写下已知值。 要找到三角形的未知角，您需要知道三角形的所有三个边。
   • 例如，给定一个三角形 RST。边 CP = 8 cm，ST = 10 cm，PT = 12 cm。求角度 S 的值。
2. 2 写出余弦定理公式。 公式： ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$， 在哪里 ${ displaystyle cos {C}}$ - 未知角度的余弦， ${ displaystyle c}$ - 与未知角落相对的已知侧面， ${ displaystyle a}$ 和 ${ 显示样式 b}$ - 另外两个著名的派对。
3. 3 找到值 一种{ displaystyle a}, 乙{ 显示样式 b} 和 C{ displaystyle c}. 然后将它们插入公式中。
   • 例如，RT 侧与未知角 S 相对，则 RT 侧为 ${ displaystyle c}$ 在公式。其他政党将 ${ displaystyle a}$ 和 ${ 显示样式 b}$...所以，公式会写成： ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 乘以数字。 乘 ${ displaystyle 2ab}$ 由未知角度的余弦。
   • 例如， ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 直立 C{ displaystyle c} 在一个广场上。 也就是说，乘以数字本身。
   • 例如， ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 把正方形折叠起来 一种{ displaystyle a} 和 乙{ 显示样式 b}. 但首先，将相应的数字平方。
   • 例如：
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 隔离未知角度的余弦。 为此，请减去金额 ${ displaystyle a ^ {2}}$ 和 ${ displaystyle b ^ {2}}$ 从等式的两边。然后将方程的每一边除以未知角度的余弦处的因子。
   • 例如，要隔离未知角度的余弦，将等式两边减去 164，然后将每边除以 -160：
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 计算反余弦。 这将找到未知角度的值。在计算器上，反余弦函数表示为 ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • 例如，0.0125 的反余弦是 82.8192。所以角S是82.8192°。

方法 3（共 3 个）：示例问题

1. 1 找出三角形的未知边。 已知边为20厘米和17厘米，它们之间的夹角为68°。
   • 由于给定了两条边以及它们之间的角度，因此可以使用余弦定理。写出公式： ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • 未知的一面是 ${ displaystyle c}$...将已知值代入公式： ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • 计算 ${ displaystyle c ^ {2}}$，观察数学运算的顺序：
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • 对等式两边取平方根。这就是你如何找到未知的一面：
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     所以，未知边是 20.8391 厘米。
2. 2 求三角形 GHI 中的角 H。 与角H相邻的两条边为22厘米和16厘米，与角H相对的边为13厘米。
   • 由于给出了所有三个边，因此可以使用余弦定理。写出公式： ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • 未知角落的对面是 ${ displaystyle c}$...将已知值代入公式： ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • 简化结果表达式：
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • 隔离余弦：
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • 求反余弦。这是计算未知角度的方法：
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     因此，角度 H 为 35.7985°。
3. 3 求路径的长度。 河流、丘陵和沼泽路径形成一个三角形。河道长3公里，丘陵道长5公里；这些小径以 135° 的角度相互交叉。沼泽小径连接其他小径的两端。求沼泽小径的长度。
   • 小径形成一个三角形。您需要找到未知路径的长度，即三角形的边。由于其他两条路径的长度和它们之间的角度是给定的，因此可以使用余弦定理。
   • 写出公式： ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • 未知路径（沼泽）将表示为 ${ displaystyle c}$...将已知值代入公式： ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • 计算 ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • 对等式两边取平方根。这是你如何找到未知路径的长度：
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     因此，沼泽步道的长度为 7.4306 公里。

提示

• 使用正弦定理更容易。因此，首先要找出它是否可以应用于给定的问题。