内容

• 脚步
• 第 1 部分（共 3 部分）：转置矩阵
• 第 2 部分（共 3 部分）：换位特性
• 第 3 部分（共 3 部分）：具有复元素的厄米共轭矩阵
• 提示

如果您学习了如何转置矩阵，您将对它们的结构有更好的理解。您可能已经了解方阵及其对称性，以帮助您掌握转置。除其他外，转置有助于将向量转换为矩阵形式并找到向量积。在处理复杂矩阵时，厄米共轭（共轭转置）矩阵可以帮助您解决各种问题。

脚步

第 1 部分（共 3 部分）：转置矩阵

1. 1 取任何矩阵。 无论行数和列数如何，任何矩阵都可以转置。大多数情况下，需要对具有相同行数和列数的方阵进行转置，因此为简单起见，请考虑以下矩阵作为示例：
   • 矩阵 一种 =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 想象直接矩阵的第一行作为转置矩阵的第一列。 只需将第一行写为一列：
   • 转置矩阵 = A
   • 矩阵 A 的第一列：
     1
     2
     3
3. 3 对其余的行执行相同的操作。 原始矩阵的第二行将成为转置矩阵的第二列。将所有行转换为列：
   • 一种 =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 尝试转置一个非方阵。 任何矩形矩阵都可以以相同的方式转置。只需将第一行写为第一列，将第二行写为第二列，依此类推。在下面的例子中，原始矩阵的每一行都标有自己的颜色，以便更清楚地说明转置时它是如何变换的：
   • 矩阵 Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • 矩阵 Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 让我们以数学符号的形式表达换位。 换位的思路虽然很简单，但最好写成严格的公式。矩阵表示法不需要任何特殊术语：
   • 假设给定一个矩阵 B 由 米 X n 元素（m 行 n 列），则转置矩阵 B 是一组 n X 米 元素（n 行和 m 列）。
   • 对于每个元素 b_xy （线 X 和专栏 是) 矩阵 B 在矩阵 B 中存在一个等价元素 b_yx （线 是 和专栏 X).

第 2 部分（共 3 部分）：换位特性

1. 1 (男 = M。 二次转置后得到原矩阵。这很明显，因为当您重新转置时，您会再次更改行和列，从而产生原始矩阵。
2. 2 围绕主对角线镜像矩阵。 方阵可以相对于主对角线“翻转”。此外，沿主对角线的元素（从₁₁ 到矩阵的右下角）保持原位，其余元素移动到该对角线的另一侧并与它保持相同的距离。
   • 如果你觉得这个方法很难想象，拿一张纸画一个 4x4 的矩阵。然后相对于主对角线重新排列其边元素。同时，追踪元素a₁₄ 和一个₄₁...转置时，它们必须像其他对侧元素一样交换。
3. 3 转置对称矩阵。 这种矩阵的元素关于主对角线对称。如果你做上面的操作，“翻转”对称矩阵，它是不会改变的。所有元素都将更改为相似的元素。事实上，这是确定给定矩阵是否对称的标准方法。如果等式 A =​​ A 成立，则矩阵 A 是对称的。

第 3 部分（共 3 部分）：具有复元素的厄米共轭矩阵

1. 1 考虑一个复矩阵。 复矩阵的元素由实部和虚部组成。这种矩阵也可以转置，尽管在大多数实际应用中使用共轭转置矩阵或厄米共轭矩阵。
   • 给定一个矩阵 C =
     2+一世     3-2一世
     0+一世     5+0一世
2. 2 用复共轭数替换元素。 在复共轭运算中，实部保持不变，虚部将符号改为相反。让我们用矩阵的所有四个元素来做这个。
   • 求复共轭矩阵 C * =
     2-一世     3+2一世
     0-一世     5-0一世
3. 3 我们转置生成的矩阵。 取找到的复共轭矩阵并简单地转置它。结果，我们得到了一个共轭转置（厄米共轭）矩阵。
   • 共轭转置矩阵 C =
     2-一世        0-一世
     3+2一世     5-0一世

提示

• 在本文中，相对于矩阵 A 的转置矩阵表示为 A。还有符号 A ' 或 Ã。
• 在本文中，关于矩阵 A 的厄米共轭矩阵表示为 A，这是线性代数中的常用符号。在量子力学中，经常使用符号 A。有时 Hermitian 共轭矩阵写成 A* 形式，但最好避免这种表示法，因为它也用于写复共轭矩阵。