内容

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• 第1部分，共3部分：分析基础
• 第2部分，共3部分：了解衍生工具
• 第3部分（共3部分）：了解积分
• 尖端

分析（也称为演算）是数学的一个分支，专注于极限，函数，导数，积分和无穷级数。该主题涵盖了大量数学，并且是物理学和力学中使用的许多公式和方程式的基础。您可能需要在高中学习几年的数学才能正确地理解分析，但是本文将使您开始学习识别关键概念以及对理论的更好理解。

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第1部分，共3部分：分析基础

1. 分析是对事物如何变化的研究。 分析是数学的一个分支，它检查通常从现实世界数据中提取的数字和图形，并说明它们如何变化。虽然这乍看起来似乎不是很有用，但分析是数学中最常用的分支之一。想象一下，有没有工具可以告诉您您的企业在任何给定时间的增长速度，或者如何绘制飞船的航向以及其燃料消耗的速度。分析是工程，经济学，统计学，化学和物理学中的重要工具，并为许多发明和发现做出了贡献。
2. 函数是两个数字之间的关系，用于映射关系。 它们是数字之间关系的规则，数学家使用它们来绘制图形。在一个函数中，每个输入都只有一个结果。例如： ${ displaystyle y = 2x + 4，}$想想无限的概念。 无限是一个过程的不断重复。它不是一个特定的地方（您不能无穷远），而是一个数字或方程式的行为（如果永远这样做的话）。这对于研究变化很重要：您可能想知道您的汽车在任何给定时间的行驶速度，但是在当前时刻您的汽车行驶的速度是多少？毫秒？纳秒？您可以发现无限小的时间更加精确，这就是分析进入的时候。
3. 了解极限的概念。 极限告诉您当某些事物接近无限时会发生什么。取数字1并除以2。一遍又一遍地除以2。 1变成1/2，然后变成1 / 4、1 / 8、1 / 16、1 / 32，依此类推。每次数字变得越来越小，“接近”零。但是，它在哪里停止呢？您必须将1除以2多少次才能得到零？在分析中，您没有回答这个问题，而是设置了一个 限制 在这种情况下，限制为。
   • 极限是最容易在图表中可视化的-例如，图表几乎触及但从未触及过的点吗？
   • 限制可以是数字，可以是无限的，甚至可以不存在。例如，加法序列1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ...并且无限期地继续，最终数将无限大。然后，限制变为无限。
4. 复习代数，三角学的基本数学概念以及数学基础。 分析依赖于您之前学过的许多数学。充分了解所有主题可以使学习和理解分析变得更加容易。需要讨论的一些主题是：
   • 代数您需要了解不同的过程，并能够求解具有多个变量的方程式和方程组。了解馆藏的基础知识。练习制作图表。
   • 几何学。几何是对形状的研究。您应该具有三角形，矩形和圆形的基本知识，以及如何计算周长和面积之类的知识。了解角度，直线和坐标
   • 三角学。三角学是数学的一个分支，涉及圆形和直角三角形的属性。知道如何使用三角恒等式，图形，函数和反三角函数。
5. 购买图形计算器。 如果不看自己在做什么，就很难理解分析。图形计算器使函数可视化，以便您可以更好地了解要处理的方程式。通常，极限也会显示在屏幕上，并且自动计算导数和函数。
   • 如果您不想或不能购买图形计算器，当今的许多智能手机和平板电脑都提供廉价但有效的图形应用程序。

第2部分，共3部分：了解衍生工具

1. 分析用于研究“特定时刻的变化”。 知道为什么某个时刻会发生变化是分析的核心。例如，分析不仅可以为您提供汽车的速度，而且还可以让您在任何给定时间改变多少速度。这是分析最简单的用途之一，但非常重要。想象一下这些信息对于确定获得飞船到达月球的速度有多重要！
   • 确定特定时间点的变化有 区分。区分是分析的两个主要分支中的第一个。
2. 使用导数来了解事物在给定时间的变化。 “衍生词”是一个好词，通常会使学生感到紧张。但是，这个概念本身并不难理解-只是表示“事物发生变化的速度”。您在日常生活中最常遇到的衍生工具与速度有关。但是，您通常不称其为“速度的导数”，而只是称其为“加速度”。
   • 加速度是一种导数-它告诉您某些事物加速或减速的速度，或者其速度如何变化。
3. 知道变化率等于两点之间的斜率。 这是最重要的分析发现之一。两点之间的变化率等于这两点之间的直线的斜率。只是想想一条简单的线，例如等式的那条线 ${ displaystyle y = 3x。}$知道您可以确定曲线的斜率。 确定一条直线的斜率相对容易：变化多少 ${ displaystyle y}$如果要更准确地计算变化，请确保各点之间的距离更近。 您选择的两点越近，您的答案就越准确。假设您想知道按下加速器时汽车的加速程度。您不想测量房屋和超级市场之间的速度变化，而是要测量从踩下加速器那一刻起的速度变化。您的读数越接近该瞬间，您对变化的计算就越准确。
   • 例如，科学家正在研究某些物种灭绝的速度有多快，以拯救它们。但是，冬季死亡的动物多于夏季，因此研究全年的变化率没有用-最好在较小的时间内（例如7月1日至8月1日）确定变化率。
4. 使用无限短的线来确定“瞬时变化率”，或找到导数。 这通常会使分析有些混乱，但这实际上是两个简单事实的结果。首先，您知道一条直线的斜率等于该直线变化的速度。其次，您知道直线上的点之间的距离越近，读数将越准确。但是，如果斜率是两点之间的关系，您如何找到给定点的变化率？答案： 您选择了两个彼此无限靠近的点.
   • 考虑一个示例，其中您将1除以2，从而得到1 / 2、1 / 4、1 / 8等。因此，最终您接近于零，答案是“几乎为零”。这些点非常接近，以至于它们“几乎彼此相等”。这就是衍生物的性质。
5. 了解如何确定各种导数。 有许多不同的技术可以根据方程式找到导数，但是如果您已经记住了上面的导数基础，则大多数方法都是有意义的。所有导数都是找到“无穷小”线的斜率的一种方法。现在您对派生理论有了更多的了解，很多工作都在寻找答案。
6. 查找导出的方程式，以随时预测变化率。 使用导数确定任何给定时间的变化率很有用，但是分析的好处在于您可以为任何函数创建一个新模型。的导数 ${ displaystyle y = x ^ {2}，}$如果您发现这很难理解，请尝试记住现实生活中的派生示例。 最简单的示例是基于速度的，它包含了我们每天遇到的许多不同的导数。不要忘记： 导数是衡量事物变化速度的指标。想想一个简单的实验。您将大理石弹在桌子上，并测量每次移动的距离和移动的速度。现在，假设滚动的大理石沿着图形上的一条线-您正在使用导数来测量该线上随时的瞬时变化。
   • 大理石移动多快？移动大理石的位置（或导数）以什么速度变化？我们称此导数为“速度”。
   • 沿着斜坡滚动大理石，观察速度如何变化。大理石速度的变化率或导数是多少？这种导数就是我们所说的“加速度”。
   • 沿着波浪状的轨道（如过山车）滚动大理石。大理石在滚落时会在多大程度上增加速度，在下坡时大理石会在多大程度上减慢速度？大理石在第一个山丘的中途到底能走多快？这是该大理石在该特定点的瞬时变化率或导数。

第3部分（共3部分）：了解积分

1. 知道您可以使用分析来查找复杂的区域和体积。 通过分析，您可以测量原本难以测量的复杂形状。例如，考虑一个问题，您想知道一个长且形状不规则的湖泊包含多少水-无法分别测量每升水或使用标尺测量湖泊的形状。通过分析，您可以研究湖泊边缘的变化情况，然后使用该信息来查找湖泊中包含的水量。
   • 制作几何模型和体积研究 整合。积分计算是分析的第二重要分支。
2. 知道积分是图形下方的区域。 积分用于测量线下的空间，这使您可以确定奇怪或不规则形状的区域。取等式 ${ displaystyle y = 4-x ^ {2}，}$知道您必须选择一个区域进行集成。 您不能简单地集成整个功能。例如， ${ displaystyle y = x}$考虑如何计算矩形的面积。 假设您在图表上方有一条平线，例如 ${ displaystyle y =4。}$知道在积分学中，许多小矩形被加在一起找到一个区域的面积。 当您极大地放大曲线时，它似乎是一条直线。您每天都会看到这种情况-因为您离地球表面太近了，所以您无法感知地球的曲率。积分会在曲线下创建无限数量的小矩形，这些小矩形是如此之小以至于它们基本上是平坦的，因此您可以对其进行计数。所有这些矩形加在一起形成曲线下面积的面积。
   • 假设您在图表下方添加了许多小段，这就是每个段的宽度 几乎 是零。
3. 知道如何正确读取和写下积分。 积分包括4个部分。典型的积分如下所示：
   
   ${ displaystyle int f（x） mathrm {d} x}$ 了解有关查找积分的更多信息. 集成有多种形式，您必须学习很多不同的公式才能集成每个函数。但是，它们都遵循上述原则：集成是无数事物的总和。
   • 通过替代整合。
   • 计算不定积分。
   • 通过共享进行整合。
4. 知道整合是差异化的逆向，反之亦然。 这是一个非常重要的分析规则，以至于它已被赋予了自己的名称：积分计算的主定理。由于集成和差异密切相关，因此可以使用这两者的组合来确定变化率，加速度，速度，位置，运动等，而不管您拥有什么信息。
   • 例如，请记住，速度的导数是加速度，因此您可以使用速度来找到加速度。但是，如果您仅知道某物的加速度（例如由于重力作用而掉落的物体），那么您可以整合以重新获得速度！
5. 知道通过集成您还可以控制3D对象的体积。 旋转平面形状是创建3D实体的一种方法。想象一下，硬币在桌子上旋转-注意硬币在旋转时看起来像球形。此概念使您可以根据称为“旋转体积”的过程确定体积。
   • 只要您具有表示固体的功能，就可以确定任何固体的体积。例如，您可以创建一个跟踪湖泊底部的函数，然后使用该函数确定湖泊的体积或其中包含的水量。

尖端

• 练习非常完美，您的教科书中的练习也是如此，甚至您老师没有教过的练习也是如此，并检查您的答案以帮助您更好地理解这些概念。
• 如果找不到解决方案，请询问您的老师。