找出3x3矩阵的逆矩阵 - 提示

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反演通常用于微积分中，以其他方式简化问题。例如，与分数的倒数相乘比直接将其除以该数更容易。这是相反的。同样，由于矩阵没有分数符号，因此您必须将其逆矩阵相乘。计算3x3矩阵的逆矩阵可能非常繁琐，但这是一个值得考虑的问题。您也可以使用高级图形计算器来执行此操作。

脚步

方法3之3：创建一个附加矩阵以查找逆矩阵

检查矩阵的行列式。 第一步：找到矩阵的行列式。如果行列式为0，那就完成了：这个矩阵是不可逆的。矩阵M的行列式可以表示为det（M）。
- 要查找3x3矩阵的逆矩阵，必须首先计算其行列式。
- 要查看如何查找矩阵的行列式，请参阅文章查找3x3矩阵行列式。
原始矩阵转置。 转置意味着在主对角线上反射矩阵，换句话说，交换元素（i，j）和元素（j，i）。对矩阵的元素进行转置时，主对角线（从左上角到右下角）保持恒定。
- 理解转置的另一种方法是，您将重写矩阵，以使第一行成为第一列，中间行成为中间列，第三行成为第三列。注意上图中的颜色元素，并注意数字的新位置。
找出每个2x2子矩阵的行列式。 新的3x3位移矩阵的所有元素都链接到相应的2x2“子”矩阵。要查找每个元素的子矩阵，请首先突出显示第一个元素的行和列。所有5个元素都将突出显示。其余四个元素构成子矩阵。
- 在上面的示例中，如果要在第二行第一列中查找元素的子矩阵，请在第二行和第一列中突出显示五个单词部分。其余四个元素是相应的子矩阵。
- 如上图所示，通过对角线相乘并相减两个乘积来找到每个子矩阵的行列式。
- 阅读更多内容以了解有关子矩阵及其用途的更多信息。
制作一个代数子矩阵。 通过将每个子矩阵行列式放置在原始矩阵中的相应位置，将从上一步获得的结果放入由代数子部分组成的新矩阵中。因此，将从原始矩阵的元素（1,1）计算出的行列式放在位置（1,1）。接下来，您将必须根据上图所示的参考表更改此新矩阵的替换符号。
- 在确定符号时，将保留前导的第一个分子的标记。第二个元素的符号相反。第三个元素的符号被保留。像其他矩阵一样继续。请注意，参考图中的符号（+）或（-）直到结束时才表示该元素将带有正号或负号。它们仅显示元素将保持不变（+）或被（-）更改。
- 有关代数附件的更多信息，请参考矩阵基础。
- 我们在此步骤中获得的最终结果是原始矩阵的互补矩阵。有时也称为共轭矩阵，表示为Adj（M）。
将补数矩阵的所有元素除以行列式。 使用您在第一步中计算出的矩阵M的行列式（检查矩阵是否可逆）。现在，将矩阵的每个元素除以该值。将每个除法的商放入原始元素的位置，就可以得到原始矩阵的逆矩阵。
- 图中显示的样本矩阵的行列式为1。因此，当将互补矩阵的每个元素除以行列式时，我们就可以得到自己（您不会总是很幸运）。。
- 一些文档没有进行除法运算，而是将M的每个元素乘以1 / det（M）进行了展示。从数学上讲，它们是等效的。
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方法2之3：减少线性行以找到逆矩阵

将单位矩阵添加到原始矩阵。 写入基本矩阵M，在该矩阵的右侧绘制一条垂直线，然后在该线的右侧写入单位矩阵。至此，我们有了一个包含三行六列的矩阵。
- 请记住，单位矩阵是一个特殊矩阵，所有元素在主对角线上，从左上角到右下角，等于1，其余位置的所有元素均等于0。
执行线性行缩减。 这里的目标是在新扩展的矩阵的左侧创建单位矩阵。执行左侧的行减少步骤时，必须在右侧执行相应的部分-作为单位矩阵的部分。
- 请记住，行缩减是标量乘法与行加法或减法的组合，以便隔离矩阵的各个元素。
继续直到形成单位矩阵。 继续线性缩小，直到在扩展矩阵的左侧出现单位矩阵（对角线上的元素等于1，其他元素等于0）。一旦达到此步骤，垂直分隔线的右边就是原始矩阵的逆矩阵。
重写逆矩阵。 复制当前在垂直分隔符右侧的元素，这就是您的逆矩阵。广告

方法3之3：用袖珍计算器找到逆矩阵

选择一个可以解决矩阵的计算器。 一个简单的四功能计算器将无法直接为您找到逆矩阵。但是，由于数学上的重复，先进的图形计算器（例如德州仪器TI-83或TI-86）可以极大地减少您的工作量。
将矩阵输入计算器。 首先，按Matrix键（如果您的设备上可用）进入计算器的Matrix功能。使用德州仪器（Texas Instruments）机器，您将必须按2矩阵。
选择编辑子菜单。 要访问此子菜单，可能需要使用箭头按钮或选择位于计算机键盘顶行中的相应功能键，具体取决于其设计。
为矩阵选择一个名称。 大多数计算器都可以处理3到10个矩阵（字母名称，从A到J）。通常，让我们开始。按Enter键确认名称选择。
输入矩阵大小。 本文重点介绍3x3矩阵。但是，袖珍计算器可以处理更大的矩阵。输入行数，按Enter，然后键入列号，然后按Enter。
输入矩阵的每个元素。 矩阵将显示在计算机屏幕上。如果您以前使用过矩阵功能，则以前使用过的矩阵将出现在屏幕上。光标将标记矩阵的第一个元素。输入您要求解的矩阵值，然后按Enter。光标将自动移动到下一个元素，覆盖以前的所有值。
- 如果要输入负数，请使用计算器的负（-）按钮，而不要使用减号键。矩阵功能将无法正确读取。
- 如果需要，您可以使用计算器上的箭头键在矩阵中移动。
退出矩阵功能。 输入整个矩阵值后，按退出-退出键（或2退出（如果需要））。因此，您可以退出矩阵功能并返回到计算器的主显示屏。
使用反向键查找反向矩阵。 首先，重新打开“矩阵”功能，然后使用“名称”按钮选择用于赋予矩阵的矩阵名称（可能是）。接下来，按计算器的反向键。根据您的设备，您可能需要使用按钮2。出现显示屏幕。按Enter，逆矩阵将出现在屏幕上。
- 尝试通过单独单击输入A ^ -1时，请勿使用计算机上的^按钮。电脑不懂这个数学。
- 如果您在按下反向键时收到错误消息，则您的父矩阵更有可能是不可逆的。也许您应该回过头来定性确定这是否是导致错误的原因。
将逆矩阵转换为正确答案。 计算机返回的第一个结果以十进制表示。在大多数情况下，这不一定是“正确”的答案。如果需要，您应该将此十进制答案转换为分数（如果足够幸运的话，所有结果将为整数）。
- 也许您的计算器具有自动将小数转换为分数的功能。例如，当使用TI-86时，您可以转到数学函数，选择其他，然后选择分数，然后按Enter。小数将自动表示为小数。
大多数图形计算器都有方括号（对于TI-84，为2nd + x和2nd +-），使您无需使用矩阵函数即可输入矩阵。 注意：在使用回车/等于键之前，计算器可能不会格式化矩阵（这意味着所有内容都将在同一行上，并且效果不太好）。广告

忠告

您可以按照以下步骤查找不仅包含数字，而且包含变量，未知数甚至代数表达式的矩阵的逆。
写下所有步骤，因为仅通过数学运算就很难找到3x3矩阵的逆矩阵。
有一些计算器程序可以帮助您查找逆矩阵，包括30x30矩阵。
不管使用哪种方法，都可以通过将M乘以M来检查结果的准确性。您将确认M * M = M * M =I。其中，I是单位矩阵是由沿主对角线位置的元素1和其他位置的零组成的。如果没有得到这样的结果，那么您一定在某个地方出错了。