内容

• 脚步
• 方法 1 of 3：如何求解没有常数项的三次方程
• 方法 2 of 3：如何使用乘法器求全根
• 方法 3 of 3：如何使用判别式求解方程

在三次方程中，最高指数是 3，这样的方程有 3 个根（解），它的形式为 ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$...一些三次方程不是那么容易解决，但如果你应用正确的方法（具有良好的理论背景），你甚至可以找到最复杂的三次方程的根 - 为此使用求解二次方程的公式，找到整个根，或计算判别式。

脚步

方法 1 of 3：如何求解没有常数项的三次方程

1. 1 找出三次方程中是否有自由项 d{ 显示样式 d}. 三次方程的形式为 ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$...对于一个方程被认为是三次方程，只要有项就足够了 ${ displaystyle x ^ {3}}$ （也就是说，可能根本没有其他成员）。
   • 如果方程有一个自由项 ${ 显示样式 d}$，使用不同的方法。
   • 如果在等式中 ${ 显示样式 a = 0}$，它不是三次方。
2. 2 从括号中取出 X{ 显示样式 x}. 由于方程中没有自由项，方程中的每一项都包括变量 ${ 显示样式 x}$...这意味着一个 ${ 显示样式 x}$ 可以从括号中排除以简化等式。因此，方程将被写成这样： ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • 例如，给定一个三次方程 ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • 取出 ${ 显示样式 x}$ 括号并得到 ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 因子（两个二项式的乘积）二次方程（如果可能）。 许多形式的二次方程 ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ 可以分解。如果我们取出，就会得到这样的等式 ${ 显示样式 x}$ 括号外。在我们的例子中：
   • 从括号中取出 ${ 显示样式 x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • 分解二次方程： ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • 将每个 bin 等同于 ${ 显示样式 0}$...这个方程的根是 ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 使用特殊公式求解二次方程。 如果无法分解二次方程，请执行此操作。要找到方程的两个根，系数的值 ${ displaystyle a}$, ${ 显示样式 b}$, ${ displaystyle c}$ 在公式中替换 ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • 在我们的例子中，替换系数的值 ${ displaystyle a}$, ${ 显示样式 b}$, ${ displaystyle c}$ (${ 显示样式 3}$, ${ 显示样式 -2}$, ${ 显示样式 14}$) 进入公式：

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • 第一根：

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • 第二根：

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 使用零根和二次根作为三次方程的解。 二次方程有两个根，而三次方程有三个。您已经找到了两个解 - 这些是二次方程的根。如果将“x”放在括号外，则第三个解决方案是 ${ 显示样式 0}$.
   • 如果你从括号中去掉“x”，你会得到 ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$，即两个因素： ${ 显示样式 x}$ 和括号中的二次方程。如果这些因素中的任何一个是 ${ 显示样式 0}$，整个方程也等于 ${ 显示样式 0}$.
   • 因此，二次方程的两个根是三次方程的解。第三种解决方案是 ${ 显示样式 x = 0}$.

方法 2 of 3：如何使用乘法器求全根

1. 1 确保三次方程中有一个自由项 d{ 显示样式 d}. 如果在一个方程的形式 ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ 有一个免费会员 ${ 显示样式 d}$ （不等于零），将“x”放在括号外是行不通的。在这种情况下，请使用本节中概述的方法。
   • 例如，给定一个三次方程 ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$...要在等式右侧获得零，请添加 ${ 显示样式 6}$ 到等式的两边。
   • 等式会变成 ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$...作为 ${ 显示样式 d = 6}$，不能使用第一节中描述的方法。
2. 2 写出系数的因数 一种{ displaystyle a} 和免费会员 d{ 显示样式 d}. 也就是说，找到这个数的因数在 ${ displaystyle x ^ {3}}$ 和等号前的数字。回想一下，一个数的因数是乘以产生该数的数。
   • 例如，要获取数字 6，你需要乘以 ${ displaystyle 6 次 1}$ 和 ${ displaystyle 2 次 3}$...所以数字 1, 2, 3, 6 是数的因数 6.
   • 在我们的等式中 ${ 显示样式 a = 2}$ 和 ${ 显示样式 d = 6}$...乘数 2 是 1 和 2...乘数 6 是数字 1, 2, 3 和 6.
3. 3 划分每个因素 一种{ displaystyle a} 对于每个因素 d{ 显示样式 d}. 结果，你得到很多分数和几个整数；三次方程的根将是整数之一或整数之一的负值。
   • 在我们的例子中，划分因子 ${ displaystyle a}$ (1 和 2) 因数 ${ 显示样式 d}$ (1, 2, 3 和 6）。你会得到： ${ 显示样式 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ 显示样式 2}$ 和 ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$...现在将获得的分数和数字的负值添加到此列表中： ${ 显示样式 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ 显示样式 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ 和 ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$...三次方程的整个根是这个列表中的一些数字。
4. 4 将整数代入三次方程。 如果等式为真，则代入的数是等式的根。例如，代入方程 ${ 显示样式 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ 显示样式 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0，即没有观察到相等性。在这种情况下，插入下一个数字。
   • 代替 ${ displaystyle -1}$: ${ 显示样式 (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0。因此， ${ displaystyle -1}$ 是方程的全根。
5. 5 使用多项式除以的方法 霍纳的计划更快地找到方程的根。 如果您不想手动将数字代入等式，请执行此操作。在霍纳的方案中，整数除以方程的系数值 ${ displaystyle a}$, ${ 显示样式 b}$, ${ displaystyle c}$ 和 ${ 显示样式 d}$...如果数字是可整除的（即余数为 ${ 显示样式 0}$)，一个整数是方程的根。
   • Horner 的方案值得单独写一篇文章，但以下是使用此方案计算三次方程的根之一的示例：

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • 所以余数是 ${ 显示样式 0}$， 但 ${ displaystyle -1}$ 是方程的根之一。

方法 3 of 3：如何使用判别式求解方程

1. 1 写出方程的系数值 一种{ displaystyle a}, 乙{ 显示样式 b}, C{ displaystyle c} 和 d{ 显示样式 d}. 我们建议您提前记下指示系数的值，以免日后混淆。
   • 例如，给定方程 ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$...写下来 ${ 显示样式 a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ 和 ${ displaystyle d = -1}$...回想一下，如果之前 ${ 显示样式 x}$ 没有数字，对应的系数仍然存在并且等于 ${ 显示样式 1}$.
2. 2 使用特殊公式计算零判别式。 要使用判别式求解三次方程，您需要执行许多困难的计算，但如果正确执行所有步骤，此方法将成为求解最复杂三次方程不可或缺的方法。第一次计算 ${ displaystyle Delta _ {0}}$ （零判别式）是我们需要的第一个值；为此，替换公式中的相应值 ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • 判别式是表征多项式根的数字（例如，二次方程的判别式由公式计算 ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • 在我们的等式中：

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 使用公式计算第一个判别式 Δ1=2乙3−9一种乙C+27一种2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. 第一判别式 ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - 这是第二个重要的值；要计算它，将相应的值代入指定的公式。
   • 在我们的等式中：

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ 显示样式 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ 显示样式 -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 计算：${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$...即通过得到的值求三次方程的判别式 ${ displaystyle Delta _ {0}}$ 和 ${ displaystyle Delta _ {1}}$...如果三次方程的判别式为正，则方程有三个根；如果判别式为零，则方程有一个或两个根；如果判别式为负，则方程有一个根。
   • 三次方程总是至少有一个根，因为该方程的图形至少在一个点与 X 轴相交。
   • 在我们的等式中 ${ displaystyle Delta _ {0}}$ 和 ${ displaystyle Delta _ {1}}$ 是平等的 ${ 显示样式 0}$，因此您可以轻松计算 ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$...因此，我们的方程有一个或两个根。

5. 5 计算：${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } 右) div 2}}}$. ${ 显示样式 C}$ - 这是最后一个被发现的重要数量；它将帮助您计算方程的根。将数值代入指定的公式 ${ displaystyle Delta _ {1}}$ 和 ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • 在我们的等式中：

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 找出方程的三个根。 用公式来做 ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$， 在哪里 ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$， 但 n 等于 1, 2 要么 3...将适当的值代入这个公式——结果，你将得到方程的三个根。
   • 使用公式计算值 n = 1, 2 要么 3然后检查答案。如果您在检查答案时得到 0，则该值就是等式的根。
   • 在我们的示例中，替换 1 在 ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ 并得到 0， IE 1 是方程的根之一。