内容

• 脚步
• 方法 1 of 3：对方程进行因式分解
• 方法 2 of 3：使用二次公式
• 方法 3 of 3：完成正方形
• 提示

二次方程是变量的最大幂为 2 的方程。求解二次方程的方法主要有以下三种：如果可能，对二次方程进行因式分解、使用二次公式或对平方进行补全。你想知道这一切是如何完成的吗？继续阅读。

脚步

方法 1 of 3：对方程进行因式分解

1. 1 添加所有相似的元素并将它们转移到等式的一侧。 这将是第一步，意思是 ${ displaystyle x ^ {2}}$ 在这种情况下，它应该保持积极。添加或减去所有值 ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ 显示样式 x}$ 和常量，将所有内容转移到一个部分，并将 0 留在另一部分。这是如何做到的：
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$
2. 2 因子表达式。 为此，您需要使用这些值 ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3)、常数值(-4)，它们必须相乘形成-11。这是如何做到的：
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ 只有两个可能的因素： ${ 显示样式 3x}$ 和 ${ 显示样式 x}$所以它们可以写在括号中： ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • 接下来，代入 4 的因数，我们找到乘以得到 -11x 的组合。您可以使用 4 和 1 或 2 和 2 的组合，因为两者都给出 4。请记住，这些值必须为负数，因为我们有 -4。
   • 通过反复试验，你得到了组合 ${ 显示样式 (3x + 1) (x-4)}$...相乘时，我们得到 ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x-4}$...通过连接 ${ displaystyle -12x}$ 和 ${ 显示样式 x}$, 我们得到中期 ${ displaystyle -11x}$我们正在寻找。二次方程被分解。
   • 例如，让我们尝试一个不合适的组合：（${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ 显示样式 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$...结合，我们得到 ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x-4}$...虽然因子 -2 和 2 乘以 -4，但中间项不起作用，因为我们想得到 ${ displaystyle -11x}$， 但不是 ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 将括号中的每个表达式归零（作为单独的方程）。 这就是我们如何找到两个含义 ${ 显示样式 x}$整个方程为零， ${ 显示样式 (3x + 1) (x-4)}$ = 0。现在它仍然等于括号中的每个表达式为零。为什么？关键是当至少一个因子等于零时，乘积等于零。作为 ${ 显示样式 (3x + 1) (x-4)}$ 为零，则 (3x + 1) 或 (x - 4) 为零。写下来 ${ 显示样式 3x + 1 = 0}$ 和 ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 分别求解每个方程。 在二次方程中，x 有两个含义。解方程并记下 x 值：
   • 解方程 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... 通过减法
     • 3x / 3 = -1/3 ..... 除以
     • x = -1/3 ..... 简化后
   • 解方程 x - 4 = 0
     • x = 4 ..... 减去
   • x = (-1/3, 4) ..... 可能的值，即 x = -1/3 或 x = 4。
5. 5 通过将此值插入 (3x + 1) (x - 4) = 0 来检查 x = -1/3：
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ..... 通过替换
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... 简化后
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 乘法后
   • 0 = 0，所以 x = -1/3 是正确答案。
6. 6 通过将此值插入 (3x + 1) (x - 4) = 0 来检查 x = 4：
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... 通过替换
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... 简化后
   • (13) (0) = 0 ..... 乘法后
   • 0 = 0，因此 x = 4 是正确答案。
   • 因此，这两种解决方案都是正确的。

方法 2 of 3：使用二次公式

1. 1 合并所有项并写在等式的一侧。 保存值 ${ displaystyle x ^ {2}}$ 积极的。按度数递减的顺序写出项，因此项 ${ displaystyle x ^ {2}}$ 先拼写，然后 ${ 显示样式 x}$ 然后是一个常数：
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 写出二次方程根的公式。 公式如下所示： ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 确定二次方程中 a、b 和 c 的值。 多变的 一种 是项 x 的系数， 乙 - 成员 x， C - 持续的。对于方程 3x -5x - 8 = 0、a = 3、b = -5 和 c = -8。写下来。
4. 4 将 a、b 和 c 的值代入方程。 知道三个变量的值，就可以将它们代入方程如下：
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 算一算。 代入值，简化利弊，并乘以或平方剩余项：
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 简化平方根。 如果平方根是一个正方形，你会得到一个整数。如果不是，则将其简化为最简单的根值。如果数字是负数， 你确定它一定是负数，那么根将是复杂的。在这个例子中 √ (121) = 11。你可以写成 x = (5 +/- 11) / 6。
7. 7 找到正面和负面的解决方案。 如果删除了平方根符号，则可以继续，直到找到正负 x 值。有 (5 +/- 11) / 6，你可以写：
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 查找正值和负值。 算一下：
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 简化。 为此，只需将两者除以最大公因数即可。将第一个分数除以 2，将第二个分数除以 6，得到 x。
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

方法 3 of 3：完成正方形

1. 1 将所有项移到等式的一侧。一种 或 x 必须为正。这是这样做的：
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • 在这个方程中 一种: 2, 乙: -12,C: -9.
2. 2 转会会员 C （永久）到另一边。 常数是方程中的一项，它只包含一个数值，不包含变量。将其移至右侧：
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 按因子划分两个部分 一种 或 x。 如果 x 没有系数，则它等于 1，这一步可以跳过。在我们的示例中，我们将所有成员除以 2：
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 划分 乙 乘以2，平方和两边相加。 在我们的例子中 乙 等于 -6：
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 简化双方。 将左边的项平方得到 (x-3) (x-3) 或 (x-3)。将项添加到右边，使 9/2 + 9 或 9/2 + 18/2，即 27/2。
6. 6 提取两边的平方根. (x-3) 的平方根就是 (x-3)。 27/2 的平方根可以写成 ± √ (27/2)。因此，x - 3 = ± √ (27/2)。
7. 7 简化激进的表达 并找到 x。 为了简化 ± √ (27/2)，找到数字 27 和 2 或其因数的完全平方数。在 27 中有一个完整的 9 平方，因为 9 x 3 = 27。要从根号推导出 9，从它取根并从根号中减去 3。在根符号下的分数的分子中保留 3，因为无法提取该因子，并且在底部保留 2。接下来，将常数 3 从等式左侧移到右侧，并写出 x 的两个解：
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

提示

• 如果根号下的数字不是一个完整的正方形，则最后几步的执行方式略有不同。下面是一个例子：
• 如您所见，根符号并没有消失。这样，分子中的项就不能组合。那么分割加号或减号就没有意义了。取而代之的是，我们将所有公因数除以 - 但是 只要 如果常数的共同因子 和 根系数。