如何解三角方程

内容

脚步

三角方程包含变量“x”（或任何其他变量）的一个或多个三角函数。求解三角方程就是找到一个满足函数 (s) 和方程整体的值“x”。

三角方程的解以度或弧度表示。例子：

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 度； x = 37.12 度； x = 178.37 度。

注意：角度的三角函数值，以弧度表示，与角度的三角函数值，以度数表示，是相等的。半径等于1的三角圆用于描述三角函数，以及检验基本三角方程和不等式解的正确性。
三角方程的例子：
- 罪 x + 罪 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732；
- cos 3x + sin 2x = cos x； 2sin 2x + cos x = 1。

半径为 1 的三角圆（单位圆）。
- 它是一个半径等于 1 并以点 O 为中心的圆。单位圆描述了变量“x”的 4 个基本三角函数，其中“x”是从 X 轴的正方向逆时针测量的角度。
- 如果“x”是单位圆上的某个角度，则：
- 水平轴 OAx 定义函数 F (x) = cos x。
- 纵轴 OBy 定义了函数 F (x) = sin x。
- 垂直轴 AT 定义函数 F (x) = tan x。
- 水平轴 BU 定义函数 F (x) = ctg x。

单位圆也用于解决基本的三角方程和不等式（考虑“x”的不同位置）。

脚步

1 求解三角方程的概念。
- 要求解三角方程，请将其转换为一个或多个基本三角方程。求解三角方程最终归结为求解四个基本的三角方程。
2 求解基本三角方程。
- 有 4 种类型的基本三角方程：
- 罪 x = a; cos x = a
- tg x = a; ctg x = a
- 求解基本三角方程涉及查看单位圆上不同的 x 位置并使用转换表（或计算器）。
- 示例 1.sin x = 0.866。使用转换表（或计算器），您会得到答案：x = π / 3。单位圆给出了另一个答案：2π/3。记住：所有三角函数都是周期性的，即它们的值是重复的。例如，sin x 和cos x 的周期为2πn，tg x 和ctg x 的周期为πn。因此，答案写成如下：
- x1 = π / 3 + 2πn； x2 = 2π / 3 + 2πn。
- 示例 2.cos x = -1/2。使用转换表（或计算器），您会得到答案：x = 2π / 3。单位圆给出了另一个答案：-2π / 3。
- x1 = 2π / 3 + 2π； x2 = -2π / 3 + 2π。
- 示例 3.tg (x - π / 4) = 0。
- 答案：x = π / 4 + πn。
- 示例 4. ctg 2x = 1.732。
- 答案：x = π / 12 + πn。
3 用于求解三角方程的变换。
- 为了转换三角方程，使用了代数变换（因式分解、齐次项的约简等）和三角恒等式。
- 例 5. 使用三角恒等式，将方程 sin x + sin 2x + sin 3x = 0 转换为方程 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0。因此，您需要求解以下基本三角方程：cos x = 0；罪 (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0。
4 从已知的函数值中寻找角度。
- 在学习求解三角方程的方法之前，您需要学习如何从函数的已知值中求角度。这可以使用转换表或计算器来完成。
- 示例：cos x = 0.732。计算器会给出答案 x = 42.95 度。单位圆将给出额外的角度，其余弦也是 0.732。
5 将解放在单位圆上。
- 您可以推迟求解单位圆上的三角方程。单位圆上的三角方程的解是正多边形的顶点。
- 示例：单位圆上的解 x = π / 3 + πn / 2 是正方形的顶点。
- 示例：单位圆上的解 x = π / 4 + πn / 3 表示正六边形的顶点。
6 求解三角方程的方法。
- 如果给定的三角方程只包含一个三角函数，则将该方程作为基本三角方程求解。如果给定的方程包含两个或多个三角函数，则有两种方法可以求解此类方程（取决于其变换的可能性）。
  - 方法一。
- 将此方程转换为以下形式的方程：f (x) * g (x) * h (x) = 0，其中 f (x)、g (x)、h (x) 是基本的三角方程。
- 例 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
- 解决方案。使用双角公式sin 2x = 2 * sin x * cos x，替换sin 2x。
- 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. 现在求解两个基本三角方程：cos x = 0 和 (sin x + 1) = 0。
- 例7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
- 解：使用三角恒等式，将这个方程转换为形式如下的方程：cos 2x (2cos x + 1) = 0。现在求解两个基本三角方程：cos 2x = 0 和 (2cos x + 1) = 0。
- 示例 8.sin x - sin 3x = cos 2x。 (0 x 2π)
- 解决方案：使用三角恒等式，将这个方程转换为以下形式的方程：-cos 2x * (2sin x + 1) = 0. 现在求解两个基本三角方程：cos 2x = 0 和 (2sin x + 1) = 0.
  - 方法二。
- 将给定的三角方程转换为仅包含一个三角函数的方程。然后用一些未知数替换这个三角函数，例如，t（sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t 等）。
- 示例 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π)。
- 解决方案。在此等式中，将 (cos ^ 2 x) 替换为 (1 - sin ^ 2 x)（通过身份）。变换后的方程为：
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. 用 t 替换 sin x。现在方程看起来像这样：5t ^ 2 - 4t - 9 = 0。这是一个二次方程，有两个根：t1 = -1 和 t2 = 9/5。第二根t2不满足函数的取值范围(-1 sin x 1)。现在决定：t = sin x = -1; x = 3π / 2。
- 示例 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
- 解决方案。用 t 替换 tg x。将原始方程改写如下：(2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0。现在找到 t，然后找到 x，因为 t = tg x。
7 特殊的三角方程。
- 有几个特殊的三角方程需要特定的变换。例子：
- a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
- a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8 三角函数的周期性。
- 如前所述，所有三角函数都是周期性的，即它们的值在一定周期后重复。例子：
  - 函数 f (x) = sin x 的周期为 2π。
  - 函数 f (x) = tan x 的周期等于 π。
  - 函数 f (x) = sin 2x 的周期是 π。
  - 函数 f (x) = cos (x / 2) 的周期为 4π。
- 如果问题中指定了时间段，则计算该时间段内的值“x”。
- 注意：求解三角方程不是一件容易的事，而且经常会导致错误。因此，请仔细检查您的答案。为此，您可以使用图形计算器绘制给定的方程 R (x) = 0。在这种情况下，解将显示为小数（即，π 被 3.14 代替）。