内容

• 脚步
• 第 1 部分（共 3 部分）：通过一个简单示例提取立方根
• 第 2 部分（共 3 部分）：立方根估计
• 第 3 部分（共 3 部分）：解释所描述的计算过程
• 提示
• 警告
• 你需要什么

如果您手头有计算器，则可以轻松提取任何数字的立方根。但是如果你没有计算器，或者你只是想给别人留下深刻印象，那么手动提取立方根。对于大多数人来说，这里描述的过程看起来相当复杂，但通过实践，提取立方根会变得容易得多。在开始阅读本文之前，请记住使用立方体中的数字进行的基本数学运算和计算。

脚步

第 1 部分（共 3 部分）：通过一个简单示例提取立方根

1. 1 写下任务。 手动立方根提取类似于长除法，但有一些细微差别。首先，以特定的形式写下任务。
   • 记下要从中提取立方根的数字。将数字分成三个数字为一组，并从小数点开始计数。例如，您需要提取 10 的立方根。写下这样的数字：10,000,000。附加零用于提高结果的精度。
   • 在数字旁边和上方画一个根符号。想象一下，这些是您在长除法中绘制的水平线和垂直线。唯一的区别是两个字符的形状。
   • 在水平线上方放置一个小数点。在原始数字的小数点正上方执行此操作。
2. 2 记住对整数求立方的结果。 它们将用于计算。
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 找出答案的第一位数字。 选择最接近但小于第一组三位数字的整数立方体。
   • 在我们的例子中，第一组三位数字是 10。找到小于 10 的最大立方体。那个立方体是 8，而 8 的立方根是 2。
   • 在数字 10 上方的水平线上方，写下数字 2。然后写下操作的值 ${ 显示样式 2 ^ {3}}$ = 10 下的 8。画一条线并从 10 中减去 8（如长除法）。结果是 2（这是第一个余数）。
   • 因此，您已找到答案的第一个数字。考虑给定的结果是否足够准确。在大多数情况下，这将是一个非常粗略的答案。计算结果以找出它与原始数字的接近程度。在我们的例子中： ${ 显示样式 2 ^ {3}}$ = 8，不是很接近 10，所以需要继续计算。
4. 4 找出答案的下一位数字。 将第二组三个数字与第一个余数相加，并在结果数字的左侧画一条垂直线。使用结果数字，您将找到答案的第二个数字。在我们的示例中，必须将第二组三位数 (000) 添加到第一个余数 (2) 以获得数字 2000。
   • 在垂直线的左边，你写了三个数字，它们的总和等于某个第一个因数。为这些数字留空，并在它们之间加上加号。
5. 5 找出第一项（三项中）。 在第一个空格中，写下 300 乘以答案第一位数字的平方的结果（写在根符号上方）。在我们的例子中，答案的第一个数字是 2，所以 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200。在第一个空格中写上 1200。第一项是 1200（再加上两个要查找的数字）。
6. 6 找出答案的第二个数字。 找出你需要乘以 1200 的数，使结果接近，但不超过 2000。这个数只能是 1，因为 2*1200 = 2400，大于 2000。写 1（第二个数字）答案）在 2 和根符号上方的十进制逗号之后。
7. 7 找出第二项和第三项（共三项）。 该因子由三个数字（项）组成，您已经找到了其中的第一个 (1200)。现在我们需要找到剩下的两个术语。
   • 将 3 乘以 10 并乘以答案的每个数字（它们写在根符号上方）。在我们的示例中：3 * 10 * 2 * 1 = 60。将此结果与 1200 相加得到 1260。
   • 最后，将答案的最后一位数平方。在我们的例子中，答案的最后一位数字是 1，所以 1 ^ 2 = 1。所以第一个因素是以下数字的总和：1200 + 60 + 1 = 1261。把这个数字写在竖线的左边.
8. 8 乘法和减法。 将答案的最后一位数字（在我们的示例中为 1）乘以找到的因子 (1261)：1 * 1261 = 1261。将这个数字写在 2000 之下，然后从 2000 中减去它。您将得到 739（这是第二个）余）。
9. 9 考虑您收到的答案是否足够准确。 每次完成下一个减法时都这样做。第一次减法后，答案是 2，这不是一个准确的结果。第二次减法后，答案是2.1。
   • 要检查答案的准确性，请将其计算为：2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261。
   • 如果您认为答案足够准确，则不必继续计算；否则，再做一次减法。
10. 10 找出第二个因素。 要练习计算并获得更准确的结果，请重复上述步骤。
    • 将第三组三位数 (000) 与第二个余数 (739) 相加。您将获得数字 739000。
    • 将 300 乘以写在根号 (21) 上方的数字的平方： ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • 找出答案的第三位数字。找出您需要乘以 132300 的数字，以便结果接近但不超过 739000。该数字是 5: 5 * 132200 = 661500。在根符号上方的 1 后面写上 5（答案的第三位数字）。
    • 将 3 乘以 10 乘以 21 和答案的最后一位数字（它们写在根符号上方）。在我们的例子中： ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • 最后，将答案的最后一位数平方。在我们的例子中，答案的最后一位数字是 5，所以 ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • 因此，第二个因素是：132300 + 3150 + 25 = 135,475。
11. 11 将答案的最后一位数字乘以第二个因数。 找到答案的第二个因素和第三个数字后，请执行以下操作：
    • 将答案的最后一位数字乘以找到的因子：135475 * 5 = 677375。
    • 减去：739000 - 677375 = 61625。
    • 考虑您收到的答案是否足够准确。为此，将其立方体： ${ 显示样式 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 写下你的答案。 写在根符号上方的结果是带有两位小数的答案。在我们的示例中，10 的立方根是 2.15。通过求立方来检查您的答案：2.15 ^ 3 = 9.94，大约是 10。如果您需要更高的精度，请继续计算（如上所述）。

第 2 部分（共 3 部分）：立方根估计

1. 1 使用数字的立方体来确定上限和下限。 如果您需要提取几乎任何数字的立方根，请找到接近给定数字的立方体（一些数字）。
   • 例如，您需要提取 600 的立方根。由于 ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ 和 ${ 显示样式 9 ^ {3} = 729}$，则 600 的立方根在 8 和 9 之间。因此，使用 512 和 729 作为答案的上限和下限。
2. 2 估计第二个数字。 由于您对整数的立方体的了解，您找到了第一个数字。现在将一个整数转换成小数，方法是给它（小数点后）分配一些从 0 到 9 的数字。你需要找到一个小数，它的立方将接近，但小于原始数字。
   • 在我们的示例中，数字 600 介于 512 和 729 之间。例如，在找到的第一个数字 (8) 上加上数字 5。您会得到数字 8.5。
3. 3 通过将其构建为多维数据集来估计结果数字。 这样做以检查立方体是否接近但不大于原始数字。
   • 在我们的例子中： ${ 显示样式 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 如果需要，评估不同的数字。 将结果数字的立方与原始数字进行比较。如果结果数字的立方大于原始数字，请尝试评估一个较小的数字。如果结果数字的立方比原始数字小得多，请评估大数字，直到其中之一的立方超过原始数字。
   • 在我们的例子中： ${ 显示样式 8.5 ^ {3}}$ > 600。因此，估计较小的数字 8.4。将该数字立方并将其与原始数字进行比较： ${ 显示样式 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$...这个结果小于原来的数字。因此，600 的立方根介于 8.4 和 8.5 之间。
5. 5 评估下一个数字以提高答案的准确性。 对于您最后评分的每个数字，添加一个从 0 到 9 的数字，直到得到准确答案。在每轮评估中，您需要找到原始数字之间的上限和下限。
   • 在我们的例子中： ${ 显示样式 8.4 ^ {3} = 592.7}$ 和 ${ 显示样式 8.5 ^ {3} = 614.1}$...原始数字 600 比 614 更接近 592。因此，在您估计的最后一个数字上添加一个更接近 0 而非 9 的数字。例如，此数字是 4。因此，将数字 8.44 减去。
6. 6 如果需要，评估不同的数字。 将结果数字的立方与原始数字进行比较。如果结果数字的立方大于原始数字，请尝试评估一个较小的数字。简而言之，您需要找到两个立方体比原始数字略大和略小的数字。
   • 在我们的例子中 ${ 显示样式 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$...这比原始数字稍大，因此评估另一个（较小的）数字，例如 8.43： ${ 显示样式 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$...因此，600 的立方根介于 8.43 和 8.44 之间。
7. 7 按照此过程进行操作，直到得到令您满意的答案。 评估下一个数字，将其与原始数字进行比较，然后在必要时评估另一个数字，依此类推。请注意，小数点后每增加一个数字都会增加答案的准确性。
   • 在我们的示例中，数字 8.43 的立方比原始数字小了小于 1。如果您需要更高的精度，请将数字 8.434 立方并得到 ${ displaystyle 8,434 ^ {3} = 599.93}$，即结果比原数小0.1以内。

第 3 部分（共 3 部分）：解释所描述的计算过程

1. 1 记住二项式级数。 二项式级数是将二项式（二项式）提升到某个幂的结果，在本例中为立方体。要理解这里描述的立方根提取算法，首先要记住二项式是立方体。很有可能，你在学校里学到了这一点（可能很快就忘记了，就像大多数人一样）。变量 ${ 显示样式 A}$ 和 ${ 显示样式 B}$ 标记一些个位数。那么两位数可以写成二项式 ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • 这里的成员 ${ 显示样式 10A}$ 表示十位，即如果 ${ 显示样式 A}$ 是任何一位数，那么 ${ 显示样式 10A}$ - 这已经是对应的两位数了。例如，如果 ${ 显示样式 A}$ = 2，并且 ${ 显示样式 B}$ = 6，那么 ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26，也就是说，你得到了一个两位数的数字 26。
2. 2 对二项式求立方。 这样做是为了理解第一部分中描述的立方根提取过程。计算 ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ （这里我们省略了立方体构造的几个阶段，以免计算使文章混乱）。
   • 可以在此处找到详细说明。
3. 3 了解长除法算法。 请注意，这里描述的立方根方法与长除法非常相似。在列中进行除法时，您需要找到数字（商），乘以除数时，您将得到被除数。在所述方法中，提取立方根的结果（写在根符号上方）用作商。即提取立方根的结果可以表示为二项式（10A+B）。 A 和 B 的确切值在这个阶段并不重要：只要记住结果可以写成二项式。
4. 4 查看二项式范围。 它是四个单项式的和，通过它你可以理解立方根提取算法的运行原理。请注意，每一步提取根的乘数等于需要计算和相加的四项之和。
   • 第一项的因数是 1000。要计算答案的第一位数字，您首先要找到最接近但小于某个数字的整数的立方（即第一组三位数字）。这定义了二项式系列的 1000A^3 成员。
   • 二项式级数第二项的乘数是数字 300 (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300）。回想一下，在立方根提取的每个阶段，答案的相应数字都乘以 300。
   • 根提取的每个阶段的第二项由二项式级数的第三项决定，它等于 30AB^2。
   • 根提取每个阶段的第三项由二项式级数的第四项决定，它等于 B^3。
5. 5 请注意答案准确性的提高。 您经历的根提取阶段越多，答案就越准确。例如，在本文中，您需要提取 10 的立方根。在第一阶段，答案是 2，因为 ${ 显示样式 2 ^ {3}}$ = 8，接近，但小于10。在第二阶段，答案是2.1，因为 ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$，更接近于 10。在第三阶段，答案是 2.15，因为 ${ 显示样式 2.15 ^ {3} = 9.94}$...您可以使用三位数字组继续计算，以提高答案的准确性。

提示

• 练习掌握所描述的方法。练习得越多，计算的速度就越快。

警告

• 在计算过程中很容易出错。所以一定要检查答案。

你需要什么

• 钢笔或铅笔
• 纸
• 统治者
• 橡皮