内容

• 脚步
• 方法 1 of 4：分母中的单项式
• 方法 2 of 4：分母中的二项式
• 方法 3 of 4：反向表达
• 方法 4 of 4：三次根分母

在数学中，不习惯在分数的分母中留下根或无理数。如果分母是根，则将分数乘以某个项或表达式以去除根。现代计算器允许您使用分母中的根来工作，但教育计划要求学生能够摆脱分母中的不合理性。

脚步

方法 1 of 4：分母中的单项式

1. 1 学习分数。 如果分母中没有根，则分数写正确。如果分母有平方或任何其他根，则需要将分子和分母乘以某个单项式以去除根。请注意，分子可以包含根 - 这是正常的。
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • 这里的分母有一个根 ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 将分子和分母乘以分母的根。 如果分母包含单项式，则很容易将这样的分数合理化。将分子和分母乘以相同的单项式（即，您将分数乘以 1）。
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • 如果您在计算器上输入解决方案的表达式，请务必在每个部分周围加上括号以将它们分开。
3. 3 简化分数（如果可能）。 在我们的示例中，它可以通过将分子和分母除以 7 来缩写。
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = {压裂 {7 { sqrt {21}}} {14}} = { 压裂 { sqrt {21}} {2}}}$

方法 2 of 4：分母中的二项式

1. 1 学习分数。 如果它的分母包含两个单项式的和或差，其中一个包含根，则不可能将分数乘以这样的二项式以消除无理性。
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • 要理解这一点，请写下分数 ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$其中单项式 ${ displaystyle a}$ 要么 ${ 显示样式 b}$ 包含根。在这种情况下： ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$...因此，单项式 ${ displaystyle 2ab}$ 仍将包括根（如果 ${ displaystyle a}$ 要么 ${ 显示样式 b}$ 包含根）。
   • 让我们看看我们的例子。
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • 你看到你无法摆脱分母中的单项式 ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 将分子和分母乘以分母中二项式的二项式共轭。 共轭二项式是具有相同单项式但符号相反的二项式。例如，二进制 ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ 与二项式共轭 ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • 理解这个方法的意义。再次考虑分数 ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$...将分子和分母乘以二项式共轭与分母中的二项式： ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$...因此，不存在包含根的单项式。由于单项式 ${ displaystyle a}$ 和 ${ 显示样式 b}$ 平方，根将被消除。
3. 3 简化分数（如果可能）。 如果分子和分母中都有一个公因数，则将其取消。在我们的例子中，4 - 2 = 2，可用于减少分数。
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

方法 3 of 4：反向表达

1. 1 检查问题。 如果您需要找到一个包含根的给定表达式的逆表达式，则必须对结果分数进行合理化（然后才对其进行简化）。在这种情况下，请使用第一部分或第二部分中描述的方法（取决于任务）。
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 写出相反的表达。 为此，将 1 除以给定的表达式；如果给定一个分数，交换分子和分母。请记住，任何表达式都是分母为 1 的分数。
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 将分子和分母乘以某个表达式以去除根。 通过将分子和分母乘以相同的表达式，您将分数乘以 1，即分数的值不会改变。在我们的例子中，我们得到了一个二项式，所以用共轭二项式乘以分子和分母。
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 简化分数（如果可能）。 在我们的例子中，4 - 3 = 1，所以分数分母中的表达式可以完全取消。
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • 答案是这个二项式的二项式共轭。这只是一个巧合。

方法 4 of 4：三次根分母

1. 1 学习分数。 该问题可能包含立方根，尽管这种情况非常罕见。所描述的方法适用于任何程度的根。
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 将根重写为幂。 在这里，您不能将分子和分母乘以某个单项式或表达式，因为有理化的执行方式略有不同。
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 将分数的分子和分母乘以某个幂，使分母中的指数变为 1。 在我们的示例中，将分数乘以 ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$...请记住，当度数相乘时，它们的指标相加： ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • 该方法适用于任何 n 次根。如果给出一个分数 ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, 分子和分母乘以 ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$...因此，分母中的指数变为 1。
4. 4 简化分数（如果可能）。
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • 如有必要，请在答案中写下词根。在我们的示例中，将指数分解为两个因子： ${ 显示样式 1/3}$ 和 ${ 显示样式 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$