内容

• 脚步
• 方法 1 of 3：第 1 部分：确定拐点
• 方法 2 of 3：计算函数的导数
• 方法 3 of 3：第 3 部分：找到拐点
• 提示

在微分学中，拐点是曲线上曲率改变符号（从正到负或从负到正）的点。这个概念用于机械工程、经济学和统计学，以识别数据的重大变化。

脚步

方法 1 of 3：第 1 部分：确定拐点

1. 1 凹函数的定义。 凹函数图形的任何和弦（连接两点的线段）的中间要么位于图形下方，要么位于图形之上。
2. 2 凸函数的定义。 凸函数图形的任何和弦（连接两点的线段）的中间要么位于图形上方，要么位于图形之上。
3. 3 确定函数的根。 函数的根是变量“x”的值，此时 y = 0。
   • 绘制函数时，根是图形与 x 轴相交的点。

方法 2 of 3：计算函数的导数

1. 1 求函数的一阶导数。 看课本上的微分规则；您必须学习如何取一阶导数，然后才能进行更复杂的计算。一阶导数被指定为f'(x)。对于 ax ^ p + bx ^ (p − 1) + cx + d 形式的表达式，一阶导数为：apx ^ (p − 1) + b (p - 1) x ^ (p − 2) + c。
   • 例如，求函数 f (x) = x ^ 3 + 2x -1 的拐点。该函数的一阶导数为：
     
     f ′ (x) = (x ^ 3 + 2x - 1) ′ = (x ^ 3) ′ + (2x) ′ - (1) ′ = 3x ^ 2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. 2 求函数的二阶导数。 二阶导数是原函数的一阶导数的导数。二阶导数表示为 f ' ' (x)。
   • 在上面的例子中，二阶导数是：
     
     f ′ ′ (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
3. 3 将二阶导数设置为零并求解所得方程。 结果将是预期的拐点。
   • 在上面的示例中，您的计算如下所示：
     
     f ′ ′ (x) = 0
     6x = 0
     x = 0
4. 4 求函数的三阶导数。 要验证您的结果实际上是拐点，请找到三阶导数，即原始函数的二阶导数的导数。三阶导数表示为 f ' ' ' (x)。
   • 在上面的例子中，三阶导数是：
     
     f ′ ′ ′ (x) = (6x) ′ = 6

方法 3 of 3：第 3 部分：找到拐点

1. 1 看看三阶导数。 估计拐点的标准规则是，如果三阶导数不为零（即 f ′ ′ ′ (x) ≠ 0），那么拐点就是真正的拐点。查看三阶导数；如果它不为零，那么您已经找到了真正的拐点。
   • 在上面的例子中，三阶导数是 6，而不是 0。所以你已经找到了真正的拐点。
2. 2 找到拐点的坐标。 拐点坐标表示为(x, f(x))，其中x为自变量“x”在拐点处的值，f(x)为因变量“y”在拐点处的值观点。
   • 在上面的示例中，当将二阶导数等于 0 时，您发现 x = 0。因此，要确定拐点的坐标，请找到 f (0)。您的计算如下所示：
     
     f (0) = 0 ^ 3 + 2 × 0−1 = −1。
3. 3 写出拐点的坐标。 拐点坐标是找到的 x 和 f (x) 值。
   • 在上面的例子中，拐点位于坐标 (0, -1)。

提示

• 自由项（素数）的一阶导数始终为零。